20191026-跳台阶

• 斐波那契数列 - 矩阵算法(O(lgn)) - 待补充
• 跳台阶 - 经典问题
  • 递归 - basic解法，浪费栈空间
  • 动态规划 - 常规解法，转移方程可以有很多变化
  • 打表 - 按照转移方程提前计算
  • 注意：台阶数很多的时候，需要手写大数加法
• 变态跳台阶/观察法
• 跳石板/动态规划
• 爬楼梯/大数跳台阶
• 爬楼梯2/大数加法

变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法 (2^{n-1})

思路

• 思路1

  • 青蛙一次可以跳1~n之间的台阶数，考虑如下情况
    • 青蛙一次跳n阶，则1~n-1的所有台阶均不经过
    • 青蛙第一次跳n-1阶，第二次跳1阶，等价于仅选中n-1阶
  • 所以，观察可得，每种跳台阶方案都对应了1~n-1中的唯一一组选择
    • 1~n-1共n-1级台阶，每级台阶都有选or不选两种情况
    • 总的跳法数目为(2^{n-1})

• 思路2

  • (f(n-1)=2^{n-2}) 数学归纳法
  • (f(n)=1+f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(2)+f(1))
  • (f(n)=2^{n-1})

跳石板

小易来到了一条石板路前，每块石板上从1挨着编号为：1、2、3.......
这条石板路要根据特殊的规则才能前进：对于小易当前所在的编号为K的 石板，小易单次只能往前跳K的一个约数(不含1和K)步，即跳到K+X(X为K的一个非1和本身的约数)的位置。 小易当前处在编号为N的石板，他想跳到编号恰好为M的石板去，小易想知道最少需要跳跃几次可以到达。
例如：
N = 4，M = 24：
4->6->8->12->18->24
于是小易最少需要跳跃5次，就可以从4号石板跳到24号石板

思路

状态转移

(steps[i+j]=min(steps[i]+1,steps[i+j]))

(steps[i+i/j]=min(steps[i]+1,steps[i+i/j]))

注意这里对约数的处理很巧妙，j from 2 to i^(1/2)

代码

#include<iostream>
#include<climits> //INT_MAX,INT_MIN等
#include<cmath> //min，max等函数
#include<vector>
using namespace std;

int main(){
    int N,M;
    while(cin>>N>>M){
        vector<int> steps(M+1,INT_MAX);
        steps[N]=0;
        for(int i=N;i<=M;i++){
            if(steps[i]==INT_MAX)
                continue;
            //快速计算i的约数
            for(int j=2;(j*j)<=i;j++){
                if(i%j==0){
                    if(i+j<=M){
                        steps[i+j]=min(steps[i]+1,steps[i+j]);
                    }
                    if(i+i/j<=M){
                        steps[i+i/j]=min(steps[i]+1,steps[i+i/j]);
                    }
                }
            }
        }
        if(steps[M]==INT_MAX){
            steps[M]=-1;
        }
        cout<<steps[M]<<endl;
    }
}

爬楼梯

题目描述

在你面前有一个n阶的楼梯，你一步只能上1阶或2阶。
请问计算出你可以采用多少种不同的方式爬完这个楼梯。

输入描述:

一个正整数n(n<=100)，表示这个楼梯一共有多少阶

输出描述:

一个正整数，表示有多少种不同的方式爬完这个楼梯

思路

不愧是校招题目，大坑在数据范围，unsigned long long不够用，需要手写大数加法

代码

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int num[103][30]={0};//二维数组的初始化，int数组进行大数加法
    num[1][29]=1;
    num[2][29]=2;
    for(int i=3;i<=100;i++){
        //从低位向高位计算
        int carry=0;//进位初始设置为0
        for(int j=29;j>=0;j--){
            num[i][j]=(num[i-1][j]+num[i-2][j]+carry)%10;
            carry=(num[i-1][j]+num[i-2][j]+carry)/10;
        }
    }
    int j=0;
    while(num[n][j]==0)
        j++;
    for(int i=j;i<30;i++)
        cout<<num[n][i];
    cout<<endl;
}

爬楼梯2

题目描述

在你面前有一个n阶的楼梯(n>=100且n<500)，你一步只能上1阶或3阶。
请问计算出你可以采用多少种不同的方式爬完这个楼梯（到最后一层为爬完）。

输入描述:

一个正整数，表示这个楼梯一共有多少阶

输出描述:

一个正整数，表示有多少种不同的方式爬完这个楼梯

代码

#include<iostream>

using namespace std;

int len=99;

int num[501][100];//这里大数的位数会很高，用len+1表示

int main(){
    num[1][len]=1;
    num[2][len]=1;
    num[3][len]=2;
    for(int i=4;i<500;i++){
        int carry=0;
        for(int j=len;j>=0;j--){
            num[i][j]=(num[i-1][j]+num[i-3][j]+carry)%10;
            carry=(num[i-1][j]+num[i-3][j]+carry)/10;
        }
    }
    int n;
    cin>>n;
    int j=0;
    while(num[n][j]==0)
        j++;
    for(;j<=len;j++){
        cout<<num[n][j];
    }
    cout<<endl;
}