图论--连通二分图计数

问题：含有两边分别为 n 和 m 个不同的点的连通二分图有多少种，即同构的图算是多个。

记　含有 n , m 个点的连通图个数为 F[n][m] ；

　　含有 n , m 个点的不连通图个数为 G[n][m] ；

　　含有 n , m 个点的图的个数为 H[n][m] = 2^(n*m) ；

　　有  F[n][m] + G[n][m] = H[n][m] ；　　F[n][m] = H[n][m] - G[n][m] ；

因此要求 F[n][m] 只需求 G[n][m] ；

求 G[n][m] ：枚举 1 号点所在的连通块大小为 k1 ( 1 ~ n ) + k2 ( 0 ~ m ) 且 k1、k2 不能同时取最大值；

　　　　　　　当 1 号点所在连通块大小为 k1+k2 时： k1个点选取情况为组合数  C[n-1][k1-1]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k2个点选取情况为组合数  C[m][k2]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　该连通块的种类数确定 k1+k2 个点后，连通块的种类数为 F[k1][k2] 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　剩余 n-k1 + m-k2 个点组成的图的种类数 H[n-k1][m-k2]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　因此情况数为 C[n-1][k1-1] * C[m][k2] * F[k1][k2] * H[n-k1][m-k2]

　　　　　G[n]为所有枚举的情况数总和

定初始值 F[0][0] = F[0][1] = F[1][0] = 1 ， 其余有一维是 0 时 F 值为 0

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=55;
const int maxm=55;
const int mod=1e9+7;

ll C[maxn][maxn];        //组合数
ll F[maxn][maxm],G[maxn][maxm],H[maxn][maxm];

ll QP(ll a,ll n){        //快速幂
    ll tmp=a,ans=1;
    while(n){
        if(n&1)ans=ans*tmp%mod;
        tmp=tmp*tmp%mod;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

void init(){
    for(int i=0;i<maxn;++i){
        for(int j=0;j<maxm;++j){
            H[i][j]=QP(2,i*j);
        }
    }
    for(int i=0;i<maxn;++i){
        for(int j=0;j<=i;++j){
            C[i][j]=(i&&j)?(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod:1;
        }
    }
    F[0][0]=F[1][0]=F[1][0]=1;
    for(int i=2;i<maxn;++i)F[i][0]=0;
    for(int i=2;i<maxm;++i)F[0][i]=0;
    for(int i=1;i<maxn;++i){
        for(int j=1;j<maxm;++j){
            G[i][j]=0;
            for(int k1=1;k1<=i;++k1){
                for(int k2=0;k2<=j;++k2){
                    if(k1==i&&k2==j)continue;
                    G[i][j]+=C[i-1][k1-1]*C[j][k2]%mod*F[k1][k2]%mod*H[i-k1][j-k2]%mod;
                    G[i][j]%=mod;
                }
            }
            F[i][j]=((H[i][j]-G[i][j])%mod+mod)%mod;
        }
    }
}