kmeans原理

一、kmeans概述

K-means聚类算法也称k均值聚类算法，属于无监督学习的一种，k-means聚类无需给定Y变量，只有特征X。

K-means聚类算法是一种迭代求解的聚类分析算法，其步骤是随机选取K个对象作为初始的聚类中心，然后计算每个对象与各个种子聚类中心之间的距离，把每个对象分配给距离它最近的聚类中心。聚类中心以及分配给它们的对象就代表一个聚类。每分配一个样本，聚类的聚类中心会根据聚类中现有的对象被重新计算。这个过程将不断重复直到满足某个终止条件。终止条件可以是没有（或最小数目）对象被重新分配给不同的聚类，没有（或最小数目）聚类中心再发生变化，误差平方和局部最小

在聚类问题中，给我们的训练样本是，每个，没有了y

具体算法描述如下：

1、 随机选取k个聚类质心点（cluster centroids）为。

2、 重复下面过程直到收敛 {

               对于每一个样例i，计算其应该属于的类

               

               对于每一个类j，重新计算该类的质心

               }

K是我们事先给定的聚类数，代表样例i与k个类中距离最近的那个类，的值是1到k中的一个。质心代表我们对属于同一个类的样本中心点的猜测，拿星团模型来解释就是要将所有的星星聚成k个星团，首先随机选取k个宇宙中的点（或者k个星星）作为k个星团的质心，然后第一步对于每一个星星计算其到k个质心中每一个的距离，然后选取距离最近的那个星团作为，这样经过第一步每一个星星都有了所属的星团；第二步对于每一个星团，重新计算它的质心（对里面所有的星星坐标求平均）。重复迭代第一步和第二步直到质心不变或者变化很小。

K-means面对的第一个问题是如何保证收敛，前面的算法中强调结束条件就是收敛，可以证明的是K-means完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性，我们定义畸变函数（distortion function）如下：

     

     J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means是要将J调整到最小。假设当前J没有达到最小值，那么首先可以固定每个类的质心，调整每个样例的所属的类别来让J函数减少，同样，固定，调整每个类的质心也可以使J减小。这两个过程就是内循环中使J单调递减的过程。当J递减到最小时，和c也同时收敛。（在理论上，可以有多组不同的和c值能够使得J取得最小值，但这种现象实际上很少见）。

     由于畸变函数J是非凸函数，意味着我们不能保证取得的最小值是全局最小值，也就是说k-means对质心初始位置的选取比较感冒，但一般情况下k-means达到的局部最优已经满足需求。但如果你怕陷入局部最优，那么可以选取不同的初始值跑多遍k-means，然后取其中最小的J对应的和c输出

二、kmeans的损失函数

和其他机器学习算法一样，K-Means 也要评估并且最小化聚类代价，在引入 K-Means 的代价函数之前，先引入如下定义：

 引入代价函数：

 三、kmeans的优缺点

优点：
1）原理比较简单，实现也是很容易，收敛速度快。
2）聚类效果较优。
3）算法的可解释度比较强。
4）主要需要调参的参数仅仅是簇数k。

缺点：
1）K值的选取不好把握
2）对于不是凸的数据集比较难收敛
3）如果各隐含类别的数据不平衡，比如各隐含类别的数据量严重失衡，或者各隐含类别的方差不同，则聚类效果不佳。
4） 采用迭代方法，得到的结果只是局部最优。

四、kmeans参数

sklearn.cluster.KMeans

class sklearn.cluster.KMeans(n_clusters=8, *, init='k-means++', n_init=10, max_iter=300, tol=0.0001, 
precompute_distances='deprecated', verbose=0, random_state=None, copy_x=True, n_jobs='deprecated', algorithm='auto')

• n_clusters：int, default=8，簇的个数，即你想聚成几类
• init：{'k-means++', 'random', ndarray, callable}, default=’k-means++’，初始簇中心的获取方法，'k-means ++'：以一种聪明的方式为k-mean聚类选择初始聚类中心，以加快收敛速度​​。有关更多详细信息，请参见k_init中的注释部分。'random'：n_clusters从初始质心的数据中随机选择观察（行）。如果传递了ndarray，则其形状应为（n_clusters，n_features），并给出初始中心。如果传递了callable，则应使用参数X，n_clusters和随机状态并返回初始化
• n_init：int, default=10，获取初始簇中心的更迭次数，k均值算法将在不同质心种子下运行的次数
• max_iter：int, default=300，最大迭代次数（因为kmeans算法的实现需要迭代），单次运行的k均值算法的最大迭代次数
• tol：float, default=1e-4，容忍度，即kmeans运行准则收敛的条件，关于Frobenius范数的相对容差，该范数表示两个连续迭代的聚类中心的差异，以声明收敛
• precompute_distances：{'auto', True, False}, default='auto'，是否需要提前计算距离，这个参数会在空间和时间之间做权衡，如果是True 会把整个距离矩阵都放到内存中，auto 会默认在数据样本大于featurs*samples 的数量大于12e6 的时候False,False 时核心实现的方法是利用Cpython 来实现的
• verbose：int, default=0，冗长模式（不太懂是啥意思，反正一般不去改默认值）
• random_state：int, RandomState instance, default=None，确定质心初始化的随机数生成。使用整数使随机性具有确定性
• copy_x：bool, default=True， 对是否修改数据的一个标记，如果True，即复制了就不会修改数据。bool 在scikit-learn 很多接口中都会有这个参数的，就是是否对输入数据继续copy 操作，以便不修改用户的输入数据。这个要理解Python 的内存机制才会比较清楚
• n_job：sint, default=None，并行设置
• algorithm：{'auto', 'full', 'elkan'}, default='auto'，kmeans的实现算法，经典的EM风格算法是'full'的。通过使用三角形不等式，'elkan'变异对于定义良好的聚类的数据更有效。但是，由于分配了额外的形状数组（n_samples，n_clusters），因此需要更多的内存。目前，'auto'（保持向后兼容性）选择'elkan'，但为了更好的启发式，将来可能会更改

属性

• cluster_centers_：ndarray(n_clusters, n_features)，集群中心的坐标
• labels_：ndarray(n_samples,)，每个点的标签
• inertia_：float，样本到其最近的聚类中心的平方距离的总和
• n_iter_：int，运行的迭代次数

方法

• fit(X[, y, sample_weight])：拟合，计算k均值聚类
• fit_predict(X[, y, sample_weight])：计算聚类中心并预测每个样本的聚类索引
• fit_transform(X[, y, sample_weight])：计算聚类并将X转换为聚类距离空间
• get_params([deep])：获取此估计量的参数
• predict(X[, sample_weight])：预测X中每个样本所属的最近簇
• score(X[, y, sample_weight])：与K均值目标上X的值相反
• set_params(**params)：设置此估算器的参数
• transform(X)：将X转换为群集距离空间

也可以看看
MiniBatchKMeans
替代性在线实施，使用微型批次对中心位置进行增量更新。对于大规模学习（例如n_samples> 10k），MiniBatchKMeans可能比默认的批处理实现要快得多。

sklearn.cluster.k_means

sklearn.cluster.k_means(X, n_clusters, *, sample_weight=None, init='k-means++', precompute_distances='deprecated', n_init=10,
 max_iter=300, verbose=False, tol=0.0001, random_state=None, copy_x=True, n_jobs='deprecated', algorithm='auto', return_n_iter=False)

• X：{array-like, sparse} matrix of shape (n_samples, n_features)，数组，矩阵，稀疏矩阵
• n_clusters：int
• sample_weight：array-like of shape (n_samples,), default=None，X中每个观测值的权重。如果为None，则为所有观测值分配相等的权重
• init：{'k-means++', 'random', ndarray, callable}, default='k-means++'
• precompute_distances：{'auto', True, False}
• n_init：int, default=10
• max_iter：int, default=300
• verbose：bool, default=False
• tol：float, default=1e-4
• random_state：int, RandomState instance, default=None
• copy_x：bool, default=True
• n_jobs：int, default=None
• algorithm：{'auto', 'full', 'elkan'}, default='auto'
• return_n_iter：bool, default=False

属性

• centroid
• label
• inertia
• best_n_iter

k_means这个是先写的，他们两的参数就相差一个数据集，不过还是建议用KMeans

五、kmeans可视化

使用iris数据做简单的聚类，并且画出聚类后的图片

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.cluster import KMeans

X=load_iris().data
kmeans = KMeans(n_clusters=3,random_state=0)
kmeans.fit(X)

labels = kmeans.labels_
labels = pd.DataFrame(labels,columns=['labels'])
X=pd.DataFrame(X)
X.insert(4,'labels',labels)

from sklearn.manifold import TSNE
tsne = TSNE()
a = tsne.fit_transform(X)
liris = pd.DataFrame(a,index=X.index)

d1 = liris[X['labels']==0]
#plt.plot(d1[0],d1[1],'r.')
d2 = liris[X['labels']==1]
#plt.plot(d2[0],d2[1],'go')
d3 = liris[X['labels']==2]
#plt.plot(d3[0],d3[1],'b*')
plt.plot(d1[0],d1[1],'r.',d2[0],d2[1],'go',d3[0],d3[1],'b*')

 值得注意的是，上面的可视化是将特征缩成一个值，然后在和label画图

还有其他的可视化方法

# 导入可视化工具包
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np
import pandas as pd

X=load_iris().data
clf = KMeans(n_clusters=3,random_state=0)
clf.fit(X)
label = clf.predict(X)

# 颜色和标签列表
colors_list = ['red', 'blue', 'green']
labels_list = ['1','2','3']
x=X
for i in range(3):
    plt.scatter(x[label==i,0], x[label== i,1], s=100,c=colors_list[i],label=labels_list[i])
    
# 聚类中心点
plt.scatter(clf.cluster_centers_[:,0],clf.cluster_centers_[:,1], s=300,c='black',label='Centroids')

plt.legend()
plt.xlabel('Annual Income (k$)')
plt.ylabel('Spending Score (1-100)')
plt.show()

 六、获取kmeans特征权重，特征贡献度

有时候我们需要看一下，哪个特征对kmeans贡献最大，但是如果是使用pca之后的数据做模型，那么就有点难计算，但是pca也是根据变量方差去选择，也即是说第一主成分的选择是根据最大方差去选择，了解这个或许还可以计算出来，

但是我们主要说非pca之后的：

#验证过，该属性确实可以计算出来
estimator=KMeans()
estimator.fit(X)
res=estimator.__dict__
print res['cluster_centers_']