性质#
欧拉函数φ(n)指小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，假设$$n=p_{1}{e_{1}}*p_{2}{e_{2}}···p_{k}^{e_{k}}（p_{i}是质数(1<=i<=k)）$$ 那么$$φ(n)=(p_{1}-1)p_{1}{e_{1}-1}*(p_{2}-1)p_{2}{e_{2}-1}··(p_{k}-1)p_{k}^{e_{k}-1}·$$其中
[sum_{d|n}φ(d)=n
]
证明#
令函数$$f(n)=sum_{d|n}φ(d)$$因此$$f(p_{i}{e_{i}})=φ(1)+φ(p_{i})+φ(p_{i}{2})+···+φ(p_{i}{e_{i}})=1+p_{i}-1+p_{i}{2}-p_{i}+···+p_{i}{e_{i}}-p_{i}{e_{i}-1}=p_{i}^{e_{i}}（p_{i}是质数(1<=i<=k)）$$因为φ(n)是积性函数，所以f(n)也是积性函数（这里没证明）。
假设$$n=p_{1}{e_{1}}*p_{2}{e_{2}}···p_{k}{e_{k}}$$所以$$sum_{d|n}φ(d)=f(n)=f(p_{1}{e_{1}}p_{2}{e_{2}}*···*p_{k}{e_{k}})=f(p_{1}{e_{1}})*f(p_{2}{e_{2}})···f(p_{k}{e_{k}})=p_{1}{e_{1}}p_{2}{e_{2}}*···*p_{k}{e_{k}}=n$$