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1 引言
逻辑不逻辑，回归非回归。
回想当年初次学习逻辑回归算法时，看到”逻辑回归“这个名字，第一感觉是这是一个与线性回归类似的回归类别的算法，只不过这个算法突出”逻辑“，或者与某个以”逻辑“命名的知识点有关。可后来却发现，这是一个坑死人不偿命的名字——逻辑回归算法不是回归算法，是分类算法，也与逻辑无关，要说有关也仅是因为它的英文名字是Loginstics，音译为逻辑而已（所以也有资料称之为逻辑斯蒂回归)。
2 逻辑回归原理
2.1 从线性回归到逻辑回归
在上一篇博文中，我们详细说过回归算法与分类算法的区别。逻辑回归既然是分类算法，为什么不叫逻辑分类而是逻辑回归呢？在我看来，这是因为逻辑回归用回归的思路去解决分类的问题。
假设有如下图所示的一个数据集，使用线性回归算法，我们可以找到大致如黑线的一个线性模型对其进行拟合。对于回归算法，需要做的是对数据集中每一个${{x}_{i}}$，都能通过模型找到一个${{y}_{i}}$（预测值）与之对应。
获得了预测值${{y}_{i}}$，我们就可以做很多事情了，例如：分类。我们可以对${{y}_{i}}$进行分段，例如，在${{y}}$轴上取一值$M$，当${{y}_{i}}<M$时，我们将其标记到类0中，当${{y}_{i}}>M$时，我们将其标记到另一类1中，如下图所示：
这就实现了以回归的思路来实现分类。
但逻辑回归可不止在线性回归的基础上做这些事情。在上一篇介绍线性回归的博文的末尾，我们提到，线性回归有一个很致命的缺陷——对异常值很敏感，如果数据集中出现异常值，拟合出来的线性模型也将出现很大变化，预测出来的结果也将不在那么准确，从而到导致分类错误。如下图所示，数据集中出现一个异常点（绿点），那么拟合出来的模型就可能从原来的黑线变为绿线，此时，当数据集中有某一点$xin ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$时，该点就回被误判，例如图中橙色点，在原本黑线模型中，该点预测出来的${{y}}$值大于$M$，被标记到1类中，但在绿线模型中，其${{y}}$值就小于$M$，就回被误标记到0类中。
逻辑回归算法对线性回归对异常数据敏感的不足进行了优化改进。怎么改进呢？最直观的方法就是将直线“掰弯”。“掰弯”之后，就算出现异常数据，模型主体部分也不会出现太多改变，从而解决线性回归模型对异常值敏感的问题，如下图所示：
而我们所用的“掰弯”方法就是用sigmod函数与线性函数进行拟合。
2.2 sigmod函数
sigmoid函数也叫Logistic函数，函数表达式如下：
其中，$e$为自然对数，是一个常数，值约为$2.71828$。
函数图像如下：
从函数图像可以看出， sigmoid函数可以很好地将$(-infty ,+infty )$内的数映射到$(0,1)$ 上，于是当$g(z)ge 0.5$时我们可以将该条数据标记为1类， $g(z)<0.5$时标记为0类。即：
[y=left{ _{0, ext{ }g(x)<0.5}^{1, ext{ }g(x)ge 0.5} ight.]
其中$y$表示分类结果。
通常，在逻辑回归算法应用中，模型可不会如同上面的sigmoid函数那么简单，而是sigmoid函数与线性函数的组合：
[g(x)=frac{1}{1+{{e}^{-z}}}]
其中，$z$就是线性回归中的预测值，即：
所以有：
[h(x)=frac{1}{1+{{e}^{-({{ heta }_{0}}+{{ heta }_{1}}{{x}_{1}}+{{ heta }_{2}}{{x}_{2}}+cdots +{{ heta }_{n}}{{x}_{n}})}}}]
用矩阵方式表示：
[h(x)=g(z)=g({{ heta }^{T}}x)=frac{1}{1+{{e}^{-{{ heta }^{T}}x}}}]
其中，$ heta =left[ egin{matrix}
{{ heta }_{0}} \
{{ heta }_{1}} \
vdots \
{{ heta }_{n}} \
end{matrix}
ight]$，$x=left[ egin{matrix}
{{x}_{0}} \
{{x}_{1}} \
vdots \
{{x}_{n}} \
end{matrix}
ight]$
3 损失函数
下一步我们要做的就是如何求取最佳拟合模型的问题了。在线性回归算法中，我们使用误差平方和来作为损失函数，但是在逻辑回归中，这个方法不再使用，因为已被证明，在逻辑回归模型中使用误差平方和作为损失函数的话，会存在许多局部最小值点，在求解参数的过程中很容易陷入局部最小值点，而无法求得真正的最小值点。
上面说过，$h(x)in (0,1)$，这一点的性质刚好与概率$pin [0,1]$的性质吻合（当做概率使用的理由不止这点），故而我们可以将其当做$h(x)$值当做数据被标记为1类的概率，即：
[p(y=1|x; heta )=h(x)]
[p(y=0|x; heta )=1-h(x)]
当给定$y$为1时，即属于1类时，$h(x)$越趋近于1，被预测为1类的概率就越大，损失（误差）就越小；反之，当给定$y$为0时，即属于0类时，$h(x)$越趋近于1，被预测为0类的概率就越小，损失（误差）就越大，于是，我们可以定义损失函数：
[cos t(h(x),y)=left{ _{-log (1-h(x)), ext{ }y=0}^{-log (h(x)), ext{ }y=1} ight.]
对所有数据集中$x$损失累加然后求平均，有：
[J( heta )=-frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{cos (h(x),y)}]
由于$y$的取值为0或1，结合上面两个公式可以得到：
[J( heta )=-frac{1}{m}sumlimits_{i=1}^{m}{({{y}_{i}}log (h({{x}_{i}}))+(1-{{y}_{i}})log (1-h({{x}_{i}})))}]
这个函数就是我们逻辑回归的损失函数,我们把它称为交叉熵损失函数。
接下来就是针对的优化问题，也就是求得最小值，在这位大佬的博客里推导过程写得很详细，我自愧不如，就不献丑了。
4 代码实现
import torch from torch import nn from torch.autograd import Variable import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # 假数据 n_data = torch.ones(100, 2) # 数据的基本形态 x0 = torch.normal(2*n_data, 1) # 类型0 x data (tensor), shape=(100, 2) y0 = torch.zeros(100) # 类型0 y data (tensor), shape=(100, 1) x1 = torch.normal(-2*n_data, 1) # 类型1 x data (tensor), shape=(100, 1) y1 = torch.ones(100) # 类型1 y data (tensor), shape=(100, 1) # 注意 x, y 数据的数据形式是一定要像下面一样 (torch.cat 是在合并数据) x = torch.cat((x0, x1), 0).type(torch.FloatTensor) # FloatTensor = 32-bit floating y = torch.cat((y0, y1), 0).type(torch.FloatTensor) # LongTensor = 64-bit integer # 画图 # plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn') # plt.show() class LogisticRegression(nn.Module): def __init__(self): super(LogisticRegression, self).__init__() self.lr = nn.Linear(2, 1) self.sm = nn.Sigmoid() def forward(self, x): x = self.lr(x) x = self.sm(x) return x logistic_model = LogisticRegression() if torch.cuda.is_available(): logistic_model.cuda() # 定义损失函数和优化器 criterion = nn.BCELoss() optimizer = torch.optim.SGD(logistic_model.parameters(), lr=1e-3, momentum=0.9) # 开始训练 for epoch in range(10000): if torch.cuda.is_available(): x_data = Variable(x).cuda() y_data = Variable(y).cuda() else: x_data = Variable(x) y_data = Variable(y) out = logistic_model(x_data) loss = criterion(out, y_data) print_loss = loss.data.item() mask = out.ge(0.5).float() # 以0.5为阈值进行分类 correct = (mask == y_data).sum() # 计算正确预测的样本个数 acc = correct.item() / x_data.size(0) # 计算精度 optimizer.zero_grad() loss.backward() optimizer.step() # 每隔20轮打印一下当前的误差和精度 if (epoch + 1) % 20 == 0: print('*'*10) print('epoch {}'.format(epoch+1)) # 训练轮数 print('loss is {:.4f}'.format(print_loss)) # 误差 print('acc is {:.4f}'.format(acc)) # 精度 # 结果可视化 w0, w1 = logistic_model.lr.weight[0] w0 = float(w0.item()) w1 = float(w1.item()) b = float(logistic_model.lr.bias.item()) plot_x = np.arange(-7, 7, 0.1) plot_y = (-w0 * plot_x - b) / w1 plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn') plt.plot(plot_x, plot_y) plt.show()
4 总结
总结一下逻辑回归的优缺点：
优点：
1）预测结果是介于0和1之间的概率；
2）可以适用于连续性和离散型变量；
3）容易使用，解释性强。
缺点：
1）对模型中自变量多重共线性较为敏感，例如两个高度相关自变量同时放入模型，可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期，符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量，以减少候选变量之间的相关性；
2）预测结果呈“S”型，因此从log(odds)向概率转化的过程是非线性的，在两端随着log(odds)值的变化，概率变化很小，边际值太小，slope太小，而中间概率的变化很大，很敏感。 导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度，无法确定阀值。
参考：
https://blog.csdn.net/out_of_memory_error/article/details/81275651
https://www.cnblogs.com/yiduobaozhiblog1/p/8872903.html
https://blog.csdn.net/ligang_csdn/article/details/53838743
https://baijiahao.baidu.com/s?id=1620514366177013756&wfr=spider&for=pc