【BZOJ4821】[SDOI2017] 相关分析（线段树）

点此看题面

大致题意： 给定(x,y)两个数组，每次给定(L,R)，要求支持三种操作：设(overline{x})为(x_{Lsim R})的平均数，(overline{y})为(y_{Lsim R})的平均数，求(frac{sum_{i=L}^R(x_i-overline{x})(y_i-overline{y})}{sum_{i=L}^R(x_i-overline{x})^2})；把区间内所有(x_i)加上(S)，所有(y_i)加上(T)；把区间内所有(x_i)修改为(S+i)，所有(y_i)修改为(T+i)。

前言

写了一天的计算几何（其实也就(3)题。。。），身心俱疲。。。

于是找道比较水的线段树题来水一水。。。

维护

这种东西看看都很难维护，显然要先拆式子：

[sum_{i=L}^R(x_i-overline{x})(y_i-overline{y}) ]

[sum_{i=L}^Rx_iy_i-overline{x}sum_{i=L}^Ry_i-overline{y}sum_{i=L}^Rx_i+(R-L+1)overline{x}overline{y} ]

而(overline{x}=frac{sum_{i=L}^Rx_i}{R-L+1},overline{y}=frac{sum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1})，代入得到：

[sum_{i=L}^Rx_iy_i-frac{sum_{i=L}^Rx_isum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1}-frac{sum_{i=L}^Rx_isum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1}+frac{sum_{i=L}^Rx_isum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1} ]

也就是：

[sum_{i=L}^Rx_iy_i-frac{sum_{i=L}^Rx_isum_{i=L}^Ry_i}{R-L+1} ]

同理，(sum_{i=L}^R(x_i-overline{x})^2)就等于：（只要把上面式子的(y)都换成(x)就好了）

[sum_{i=L}^Rx_i^2-frac{(sum_{i=L}^Rx_i)^2}{R-L+1} ]

然后我们看一看这两个式子，就会发现我们只需要维护(x_i,y_i,x_i^2,x_iy_i)各自的和就可以了。

区间加法

第一种修改很简单啊。显然有：（(l)为区间长度）

[sum(x+S)^2=sum x^2+2Ssum x+lcdot S^2 ]

[sum(x+T)(y+T)=sum xy+Tcdotsum x+Scdotsum y+lcdot Scdot T ]

因此，(sum x^2)加上(2Scdotsum x_i+lcdot S^2)，(sum xy)加上(Tcdotsum x+Scdotsum y+lcdot Scdot T)。

至于(sum x,sum y)，只要分别加上(lcdot S)和(lcdot T)就行了（注意要放后面加）。

区间赋值

第二种修改实际上也很简单，方便起见，我们令(S,T)表示当前区间修改为(S+1,S+2,...,S+l)和(T+1,T+2,...,T+l)（只要在处理右区间时分别给操作中给出的(S,T)加上左区间的大小即可）。

则可以得到：

[sum x=sum_{i=1}^l(S+i)=lcdot S+frac{l(l+1)}2 ]

[sum y=sum_{i=1}^l(T+i)=lcdot T+frac{l(l+1)}2 ]

[sum x^2=sum_{i=1}^l(S+i)^2=lcdot S^2+Scdot l(l+1)+frac{l(l+1)(2l+1)}6 ]

[sum xy=sum_{i=1}^l(S+i)(T+i)=lcdot Scdot T+(S+T)cdot frac{l(l+1)}2+frac{l(l+1)(2l+1)}6 ]

于是这道题就做完了，具体实现可以详见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define DB double
#define CD Con DB& 
using namespace std;
int n,x[N+5],y[N+5];
class SegmentTree//线段树
{
	private:
		#define PT CI l=1,CI r=n,CI rt=1
		#define LT l,mid,rt<<1
		#define RT mid+1,r,rt<<1|1
		#define PU(x) (O[x]=O[x<<1]+O[x<<1|1])
		#define PD(x)
		(
			O[x].Uf&&(O[x<<1].Upt(O[x].Ux,O[x].Uy),
				O[x<<1|1].Upt(O[x].Ux+mid-l+1,O[x].Uy+mid-l+1),O[x].Uf=0),
			(O[x].Ax||O[x].Ay)&&(O[x<<1].Add(O[x].Ax,O[x].Ay),
				O[x<<1|1].Add(O[x].Ax,O[x].Ay),O[x].Ax=O[x].Ay=0)
		)//下传标记，注意赋值标记传到右区间要加上左区间大小
		struct node
		{
			#define CN Con node& 
			int l,Uf,Ux,Uy;DB sx,sy,xx,xy,Ax,Ay;
			I friend node operator + (CN x,CN y)//合并两个区间信息
			{
				node t;t.l=x.l+y.l,t.sx=x.sx+y.sx,t.sy=x.sy+y.sy,t.xx=x.xx+y.xx,
				t.xy=x.xy+y.xy,t.Uf=t.Ax=t.Ay=0;return t;
			}
			I void Add(CD s,CD t)//区间加法
			{
				Ax+=s,Ay+=t,xx+=2*s*sx+l*s*s,xy+=t*sx+s*sy+l*s*t,sx+=l*s,sy+=l*t;
			}
			I void Upt(CI s,CI t)//区间赋值
			{
				Ax=Ay=0,Uf=1,Ux=s,Uy=t,sx=1.0*l*s+1.0*l*(l+1)/2,sy=1.0*l*t+1.0*l*(l+1)/2,
				xx=1.0*l*s*s+1.0*s*l*(l+1)+1.0*l*(l+1)*(2*l+1)/6,
				xy=1.0*l*s*t+1.0*(s+t)*l*(l+1)/2+1.0*l*(l+1)*(2*l+1)/6;
			}
		}O[N<<2];
	public:
		I void Build(PT)//建树
		{
			if(l==r)
			{
				O[rt].l=1,O[rt].sx=x[l],O[rt].sy=y[l],O[rt].xx=1.0*x[l]*x[l],
				O[rt].xy=1.0*x[l]*y[l];return;
			}
			int mid=l+r>>1;Build(LT),Build(RT),PU(rt);
		}
		I void U1(CI x,CI y,CI s,CI t,PT)//第一种修改
		{
			if(x<=l&&r<=y) return O[rt].Add(s,t);int mid=l+r>>1;PD(rt);
			x<=mid&&(U1(x,y,s,t,LT),0),y>mid&&(U1(x,y,s,t,RT),0),PU(rt);
		}
		I void U2(CI x,CI y,CI s,CI t,PT)//第二种修改
		{
			if(x<=l&&r<=y) return O[rt].Upt(s,t);int mid=l+r>>1;PD(rt);
			x<=mid&&(U2(x,y,s,t,LT),0),y>mid&&(U2(x,y,s+mid-l+1,t+mid-l+1,RT),0),PU(rt);
		}
		I node Qry(CI x,CI y,PT)//询问
		{
			if(x==l&&r==y) return O[rt];int mid=l+r>>1;PD(rt);
			if(y<=mid) return Qry(x,y,LT);if(x>mid) return Qry(x,y,RT);
			return Qry(x,mid,LT)+Qry(mid+1,y,RT);
		}
		I double Q(CI x,CI y)
		{
			node t=Qry(x,y);double f=t.xy-t.sx*t.sy/(y-x+1);
			double g=t.xx-t.sx*t.sx/(y-x+1);return f/g;//计算答案
		}
}S;
int main()
{
	RI Qt,i;scanf("%d%d",&n,&Qt);
	for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",x+i);for(i=1;i<=n;++i) scanf("%d",y+i);S.Build();
	RI op,l,r,s,t;W(Qt--) switch(scanf("%d%d%d",&op,&l,&r),op)
	{
		case 1:printf("%.10lf
",S.Q(l,r));break;
		case 2:scanf("%d%d",&s,&t),S.U1(l,r,s,t);break;
		case 3:scanf("%d%d",&s,&t),S.U2(l,r,s,t);break;
	}return 0;
}