Description
在JIH考察的地图中有N个城市，被公路依次连成了一个环，JIH想在这些城市中建一个玩具厂。城市和公路都被编号为1..N，i号公路连接i-1号城市与i号城市（1号公路连接N号城市与1号城市），每个城市对玩具的需求为wi，每条公路的长度为di。当JIH在第i号城市建玩具厂时，JIH需要将玩具运输到其他城市（当然i城市除外）。设第i号城市到第j号城市的两条路径长度分别为l1、l2，则将玩具运输到第j号城市的费用为l1*l2*wj。总的运输费用为将玩具运到所有城市的运输费用的总和。
JIH当然想要总的运输费用最少，所以他会选最优的城市建玩具厂，如果有多个最优的城市，小月会等概率的选取其中一个建玩具厂。
由于JIH的调查工作没做好，只知道1..N-1号城市的wi，而N号城市的wi只知道它的取值范围[a,b]，假设wi的值在实数区间[a,b]上的概率是均匀分布的。现在JIH只好去进行第二次调查，于是我们想知道每个城市建玩具厂的概率是多少。
Input
第一行有三个正整数N，a，b。
接下来N-1行每行一个正实数，为w[1]到w[N-1]。
接下来N行每行一个正实数，为d[1]到d[N]。
Output
N行，每行一个实数，表示在第i个城市建厂的概率
Sample Input
5 1 100
50
25
25
50
1
2
3
2
1
50
25
25
50
1
2
3
2
1
Sample Output
0.090
0.000
0.000
0.090
0.821
0.000
0.000
0.090
0.821
HINT
当w[5]<18.75时，将在1或4号城市建玩具厂，当w[5]>18.75时，将在5号城市建玩具厂，
当w[5]=18.75时，将在1或4或5建玩具厂。
100%的数据中：N<=100000,a<=b<=10000,w[i]<=10000,d[i]<=10。
先将每个点的代价表示为kx+b的形式，然后维护个凸包求出每段区间最低的直线，进而求出每条直线即每个点被选的概率。
现在瓶颈在求出每个点的b。
如果将厂设在i-1点 l[j],r[j]为i-1点和j点的两条路长度，则
b[i-1]=Σl[j]*r[j]*w[j]
同理b[i]=Σ(l[j]+d[i])*(r[j]-d[i])*w[j]
作差得 b[i]-b[i-1]=Σw[j]*(r[j]*d[i]-l[j]*d[i]-d[i]*d[i])
=Σw[j]*r[j]*d[i]-Σw[j]*l[j]*d[i]-Σw[j]*d[i]*d[i]
维护Σw[j]*r[j]和Σw[j]*l[j]即可。
先暴力求出第1个点的b，然后O(1)转移求其他点的b，求所有点的b变成了O(N)。
注意：有重复的直线，他们要平分概率。
code：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #define maxn 100005 7 #define eps 1E-9 8 #define inf 1E100 9 using namespace std; 10 int n,flag,cnt,siz,pos[maxn]; 11 double w[maxn],d[maxn],dist[maxn],tot,tmp,ans,t1,t2,t3,val[maxn]; 12 double a,b,l,r,f[maxn],p[maxn]; 13 struct Line{ 14 double k,b; 15 int id; 16 }line[maxn],tl[maxn]; 17 bool cmp(Line x,Line y){ 18 if (abs(x.k-y.k)>eps) return x.k>y.k; 19 return x.b<y.b; 20 } 21 double calc(Line l1,Line l2){return -(l1.b-l2.b)/(l1.k-l2.k);} 22 struct DATA{ 23 double x; 24 int id; 25 }list[maxn]; 26 void solve(){ 27 memcpy(tl,line,sizeof(line)); 28 sort(tl+1,tl+n+1,cmp); 29 for (int i=1,j,t;i<=n;i=j){ 30 line[++cnt]=tl[i],t=0; 31 for (j=i;tl[j].k==tl[i].k;j++) if (tl[j].b==tl[i].b) pos[tl[j].id]=cnt,t++; 32 for (j=i;tl[j].k==tl[i].k;j++) if (tl[j].b==tl[i].b) p[tl[j].id]=1.0/t; 33 } 34 list[siz=1]=(DATA){-inf,1}; 35 for (int i=2;i<=cnt;i++){ 36 double t=calc(line[i],line[list[siz].id]); 37 while (t<list[siz].x) siz--,t=calc(line[i],line[list[siz].id]); 38 list[++siz]=(DATA){t,i}; 39 } 40 list[++siz]=(DATA){inf,cnt+1}; 41 l=a,r=b,flag=0; 42 for (int i=1;i<=siz&&flag!=2;i++){ 43 if (list[i].x>l){ 44 if (!flag) flag=1,f[list[i-1].id]=(list[i].x-l)/(r-l); 45 else if (flag==1&&list[i].x<r) f[list[i-1].id]=(list[i].x-list[i-1].x)/(r-l); 46 else if (list[i].x>=r) f[list[i-1].id]=(r-list[i-1].x)/(r-l),flag=2; 47 } 48 } 49 for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=f[pos[i]]*p[i]; 50 for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf ",p[i]); 51 } 52 int main(){ 53 scanf("%d%lf%lf",&n,&a,&b); 54 for (int i=1;i<n;i++) scanf("%lf",&w[i]); 55 for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&d[i]); 56 for (int i=1;i<=n;i++) dist[i]=d[i]; 57 for (int i=1;i<=n;i++) dist[i]+=dist[i-1]; 58 tot=dist[n]; 59 if (a==b){ 60 w[n]=a; 61 t1=w[1]*tot,t3=w[1]; 62 for (int i=2;i<=n;i++){ 63 tmp+=w[i]*(dist[i]-dist[1])*(tot-dist[i]+dist[1]); 64 t1+=w[i]*(dist[i]-dist[1]); 65 t2+=w[i]*(tot-dist[i]+dist[1]); 66 t3+=w[i]; 67 } 68 val[1]=ans=tmp; 69 for (int i=2;i<=n;i++){ 70 tmp+=t1*d[i]-t2*d[i]-t3*d[i]*d[i]; 71 ans=min(ans,tmp); 72 val[i]=tmp; 73 t1+=w[i]*tot,t2-=w[i]*tot; 74 t1-=t3*d[i],t2+=t3*d[i]; 75 } 76 cnt=0; 77 for (int i=1;i<=n;i++) if (abs(val[i]-ans)<=eps) cnt++; 78 for (int i=1;i<=n;i++) if (abs(val[i]-ans)<=eps) printf("%.3lf ",1.0/cnt); 79 else puts("0.000"); 80 return 0; 81 } 82 l=0,r=tot; 83 for (int i=1;i<=n;i++) l+=d[i],r-=d[i],line[i].k=l*r; 84 t1=w[1]*tot,t3=w[1]; 85 for (int i=2;i<=n;i++){ 86 tmp+=w[i]*(dist[i]-dist[1])*(tot-dist[i]+dist[1]); 87 t1+=w[i]*(dist[i]-dist[1]); 88 t2+=w[i]*(tot-dist[i]+dist[1]); 89 t3+=w[i]; 90 } 91 line[1].b=tmp; 92 for (int i=2;i<=n;i++){ 93 tmp+=t1*d[i]-t2*d[i]-t3*d[i]*d[i]; 94 line[i].b=tmp; 95 t1+=w[i]*tot,t2-=w[i]*tot; 96 t1-=t3*d[i],t2+=t3*d[i]; 97 } 98 for (int i=1;i<=n;i++) line[i].id=i; 99 solve(); 100 return 0; 101 }