2019.10.29 csp-s模拟测试93 反思总结

T1：

求出前缀和，三维偏序O（nlog²n）CDQ

二维其实就可以

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10,inf=2147483;
int n,ans,tot,tree[2*N];
long long a[N],b[N];
long long suma[N],sumb[N],c[2*N];
struct node{
    int ha,hb,id;
}s[N],d[N];
void add(int x,int k){
    for(;x<=tot;x+=(x&-x))tree[x]=min(tree[x],k);
}
void clear(int x){
    for(;x<=tot;x+=(x&-x))tree[x]=inf;
}
int ask(int x){
    int num=inf;
    for(;x;x-=(x&-x))num=min(tree[x],num);
    return num;
}
void work(int l,int r){
    if(l==r){
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    work(l,mid),work(mid+1,r);
    int ll=l,rr=mid+1,p=l;
    while(ll<=mid&&rr<=r){
        if(s[ll].ha<=s[rr].ha){
            add(s[ll].hb,s[ll].id);
            d[p++]=s[ll++];
        }
        else{
            int x=ask(s[rr].hb);
            if(x!=inf)ans=max(ans,s[rr].id-x);
            d[p++]=s[rr++];
        }
    }
    while(rr<=r){
        int x=ask(s[rr].hb);
        if(x!=inf)ans=max(ans,s[rr].id-x);
        d[p++]=s[rr++];
    }
    for(int i=l;i<=ll;i++){
        clear(s[i].hb);
    }
    while(ll<=mid)d[p++]=s[ll++];
    for(int i=l;i<=r;i++)s[i]=d[i];
}
int main(){
//    freopen("sequence.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&b[i]);
    }
    for(int i=0;i<=n;i++){
        if(i)suma[i]=suma[i-1]+a[i];
        if(i)sumb[i]=sumb[i-1]+b[i];
        c[++tot]=suma[i],c[++tot]=sumb[i];
    }
    sort(c+1,c+tot+1);
    tot=unique(c+1,c+tot+1)-c-1;
    for(int i=0;i<=tot;i++)tree[i]=inf;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        s[i].ha=lower_bound(c+1,c+tot+1,suma[i])-c;
        s[i].hb=lower_bound(c+1,c+tot+1,sumb[i])-c;
        s[i].id=i;
    }
    work(0,n);
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

一开始没有处理0的位置，出题人慷慨地送了我90pts

T2：

区间DP+四边形不等式优化

DP合并方式是枚举决策点，左右可以看作独立的树，然后再整体加一层的贡献

发现决策点单调，于是f[i][j]只从p[i][j-1]->p[i+1][j]枚举决策点。p为决策点数组。

跳过四边形不等式证明：如果觉得决策点单调就把决策点矩阵打印出来，发现行列上均单调，则有可能可以四边形不等式优化。

O（n²）

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long inf=1e18;
int n,a[5010],p[5010][5010];
long long f[5010][5010],sum[5010];
int main()
{
//    freopen("tree.in","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            f[i][j]=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i]=a[i],p[i][i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        for(int j=1;j+i-1<=n;j++){
            for(int k=p[j][j+i-2];k<=p[j+1][j+i-1];k++){
                if(f[j][k-1]+f[k+1][j+i-1]+sum[j+i-1]-sum[j-1]<f[j][j+i-1]){
                    f[j][j+i-1]=f[j][k-1]+f[k+1][j+i-1]+sum[j+i-1]-sum[j-1];
                    p[j][j+i-1]=k;
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld
",f[1][n]);
    return 0;
 } 

T3：

设从k点开始转移，以1的最终值为答案。

列出转移方程：f[i]=∑f[j]/x+1，x为i的出度。移项，列出高斯消元数组。

对于一个点，当它作为k时，它的f值为0。又发现对于不同的k，每次其它点的消元式子并不会发生变化。

线段树分治，每次存下当前的数组，只消元一半，然后递归进下一层。当处理到只有一个点的区间时，这个点的答案即为消元数组中1号点对应的答案。

一开始避免了消元时的选行，以及消元的时候出现0似乎没有什么影响：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m;
int ver[100010],Next[100010],head[310],tot,chu[310];
long long val[310][310],ans[310],d[310][310][310];
void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
long long ks(long long x,int k){
    long long num=1;
    while(k){
        if(k&1)num=num*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return num;
}
void make(int l,int r){
//    int pos;
    for(int i=l;i<=r;i++){
//        pos=i;
//        for(int j=i;j<=n;j++){
//            if(val[j][i]>val[pos][i])pos=j;
//        }
//        for(int j=1;j<=n+1;j++){
//            swap(val[i][j],val[pos][j]);
//        }
        int tmp=val[i][i];
        if(!tmp)continue;
        long long inv=ks(tmp,mod-2);
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            val[i][j]=val[i][j]*inv%mod;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j!=i){
                int s=val[j][i];
                for(int k=1;k<=n+1;k++){
                    val[j][k]=(val[j][k]-s*val[i][k]%mod+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
} 
void work(int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        ans[l]=val[1][n+1];
        return;
    }
//    long long d[310][310];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            d[dep][i][j]=val[i][j];
        }
    }
    int mid=(l+r)/2;
    make(l,mid);
    work(mid+1,r,dep+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            val[i][j]=d[dep][i][j];
        }
    }
    make(mid+1,r);
    work(l,mid,dep+1);
}
int main()
{
//    freopen("walk.in","r",stdin);
//    freopen("1.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        chu[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        val[i][i]=-chu[i];
//        long long inv=ks(chu[i],mod-2);
        for(int j=head[i];j;j=Next[j]){
            int y=ver[j];
            val[i][y]++;
        }
        val[i][n+1]=-chu[i];
    }
    work(1,n,1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        printf("%lld
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

这样选行会错的原因是，对于一个k来说，整个消元过程中它是不能被选择到的。在它作为k的意义下，它的数组其实相当于不存在。

及时跳出选行即可：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m;
int ver[100010],Next[100010],head[310],tot,chu[310];
long long val[310][310],ans[310],d[310][310][310];
void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
long long ks(long long x,int k){
    long long num=1;
    while(k){
        if(k&1)num=num*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return num;
}
void make(int l,int r){
    int pos;
    for(int i=l;i<=r;i++){
        pos=i;
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if(val[j][i]){pos=j;break;}
        }
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            swap(val[i][j],val[pos][j]);
        }
        for(int j=1;j<=n+1;j++)val[i][j]=(val[i][j]+mod)%mod;
        int tmp=val[i][i];
        if(!tmp)continue;
        long long inv=ks(tmp,mod-2);
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            val[i][j]=val[i][j]*inv%mod;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j!=i){
                int s=val[j][i];
                for(int k=1;k<=n+1;k++){
                    val[j][k]=(val[j][k]-s*val[i][k]%mod+mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
} 
void work(int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        ans[l]=val[1][n+1];
        return;
    }
//    long long d[310][310];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            d[dep][i][j]=val[i][j];
        }
    }
    int mid=(l+r)/2;
    make(l,mid);
    work(mid+1,r,dep+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++){
            val[i][j]=d[dep][i][j];
        }
    }
    make(mid+1,r);
    work(l,mid,dep+1);
}
int main()
{
//    freopen("walk.in","r",stdin);
//    freopen("1.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        chu[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        val[i][i]=-chu[i];
//        long long inv=ks(chu[i],mod-2);
        for(int j=head[i];j;j=Next[j]){
            int y=ver[j];
            val[i][y]++;
        }
        val[i][n+1]=-chu[i];
    }
    work(1,n,1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        printf("%lld
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

 ↑上面的复杂度都是O（n³logn）每个点会被消log次，消一次是n²

//????????????????
//????????????
//exm??????
//??????????????? ?????????
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m;
int ver[100010],Next[100010],head[310],tot,chu[310];
long long val[310][310],ans[310],d[310][310][310];
void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
long long ks(long long x,int k){
    long long num=1;
    while(k){
        if(k&1)num=num*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return num;
}
void make(int l,int r,int L,int R){
    for(int i=l;i<=r;i++){
//        for(int j=1;j<=n+1;j++)val[i][j]=(val[i][j]+mod)%mod;
        int tmp=val[i][i];
        if(!tmp)continue;
        long long inv=ks(tmp,mod-2);
        for(int j=L;j<=R;j++){
            val[i][j]=val[i][j]*inv%mod;
        }
        val[i][n+1]=val[i][n+1]*inv%mod;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j!=i){
                int s=val[j][i];
                if(!s)continue;
                for(int k=L;k<=R;k++){
                    val[j][k]=(val[j][k]-s*val[i][k]%mod+mod)%mod;
                }
                val[j][n+1]=(val[j][n+1]-s*val[i][n+1]%mod+mod)%mod;
            }
        }
    }
} 
void work(int l,int r,int dep){
    if(l==r){
        ans[l]=val[1][n+1];
        return;
    }
//    long long d[310][310];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=l;j<=r;j++){
            d[dep][i][j]=val[i][j];
        }
        d[dep][i][n+1]=val[i][n+1];
    }
    int mid=(l+r)/2;
    make(l,mid,l,r);
    work(mid+1,r,dep+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=l;j<=r;j++){
            val[i][j]=d[dep][i][j];
        }
        val[i][n+1]=d[dep][i][n+1];
    }
    make(mid+1,r,l,r);
    work(l,mid,dep+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=l;j<=r;j++){
            val[i][j]=d[dep][i][j];
        }
        val[i][n+1]=d[dep][i][n+1];
    }
}
int main()
{
//    freopen("walk.in","r",stdin);
//    freopen("1.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        chu[x]++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        val[i][i]=-chu[i];
//        long long inv=ks(chu[i],mod-2);
        for(int j=head[i];j;j=Next[j]){
            int y=ver[j];
            val[i][y]++;
        }
        val[i][n+1]=-chu[i];
    }
    work(1,n,1);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        printf("%lld
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

↑这个是O（n³）

为什么？？？？陷入迷惑