高斯消元/矩阵树定理学习记录

高斯消元

模板 luogu P3389

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double eps=1e-6;
const int N=100+5;
double a[N][N];
int n;

int gauss(){
	int c,r;
	for(c=1,r=1;c<=n;++c){
		int t=r;
		for(int i=r;i<=n;++i){
			if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])){
				t=i;
			}
		}//选最大的（提高精度+将0交换到下面）
		if(fabs(a[t][c])<eps) continue;
		for(int i=c;i<=n+1;++i) swap(a[t][i],a[r][i]);//交换到上部
		for(int i=n+1;i>=c;--i) a[r][i]/=a[r][c];//行首行列式数值变成1
		for(int i=r+1;i<=n;++i){
			if(fabs(a[i][c])>eps){
				double d=a[i][c];
				for(int j=n+1;j>=c;--j){
					a[i][j]-=a[r][j]*d;
				}
			}
		}
		++r;
	}
	if(r<=n){
        for(int i=r;i<=n;++i){
            if(fabs(a[i][n+1])>eps){
                return 2;//无解
            }
        }
		return 0;//没有唯一解
	}
	for(int i=n;i>0;--i){
		for(int j=i+1;j<=n;++j){
			a[i][n+1]-=a[j][n+1]*a[i][j];
		}
	}
	return 1;
}

int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n+1;++j){
			scanf("%lf",&a[i][j]);
		}
	}
	if(gauss()!=1){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			printf("%.2lf
",a[i][n+1]);
		}
	}else{
		puts("No Solution");
	}
	return 0;
} 

ICPC2020 Jinan

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200+5;
int a[N][N],b[N][N];
int m[N][N];
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;

ll qpow(ll a,ll p){
	if(p==0){
		return 1;
	}else if(p==1){
		return a%mod;
	}
	ll ret=qpow(a,p>>1);
	ret=(ret*ret)%mod;
	if(p&1) ret=(ret*a)%mod;
	return ret;
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=n;++j){
			scanf("%d",&b[i][j]);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int k=1;k<=n;++k){
		memset(m,0,sizeof m);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n;++j){
				m[i][j]^=a[i][j];
			}
			if(b[i][k]){
				m[i][i]^=1;
			}
		}
		int c,r;
		for(c=1,r=1;c<=n;++c){
			int t=r;
			for(int i=r;i<=n;++i){
				if(m[i][c]){
					t=i;
					break;
				}
			}
			if(m[t][c]==0) continue;
			if(t!=r){
				for(int i=c;i<=n;++i){
					swap(m[t][i],m[r][i]);
				}
			}
			for(int i=r+1;i<=n;++i){
				if(m[i][c]!=0){
					int d=m[i][c];
					for(int j=n;j>=c;--j){
						m[i][j]=(m[i][j]-m[r][j]*d+4)%2;
					}
				}
			}
			++r;
		}
		ans+=n-r+1;
	}
	printf("%lld",qpow(2,ans));
	return 0;
}

(mod 2)等价于异或，所以可以用bitset优化一个64的常数。

矩阵树定理

本章节的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，转自OIWIKI
Kirchhoff 矩阵树定理（简称矩阵树定理）解决了一张图的生成树个数计数问题。

本篇记号声明

本篇中的图，无论无向还是有向，都允许重边，但是不允许自环。

无向图情况

设 (G) 是一个有 (n) 个顶点的无向图。定义度数矩阵 (D(G)) 为：

[D_{ii}(G) = mathrm{deg}(i), D_{ij} = 0, i eq j ]

设 (#e(i,j)) 为点 (i) 与点 (j) 相连的边数，并定义邻接矩阵 (A) 为：

[A_{ij}(G)=A_{ji}(G)=#e(i,j), i eq j ]

定义 Laplace 矩阵（亦称 Kirchhoff 矩阵）(L) 为：

[L(G) = D(G) - A(G) ]

记图 (G) 的所有生成树个数为 (t(G))。

有向图情况

设 (G) 是一个有 (n) 个顶点的有向图。定义出度矩阵 (D^{out}(G)) 为：

[D^{out}_{ii}(G) = mathrm{deg^{out}}(i), D^{out}_{ij} = 0, i eq j ]

类似地定义入度矩阵 (D^{in}(G))

设 (#e(i,j)) 为点 (i) 指向点 (j) 的有向边数，并定义邻接矩阵 (A) 为：

[A_{ij}(G)=#e(i,j), i eq j ]

定义出度 Laplace 矩阵 (L^{out}) 为：

[L^{out}(G) = D^{out}(G) - A(G) ]

定义入度 Laplace 矩阵 (L^{in}) 为：

[L^{in}(G) = D^{in}(G) - A(G) ]

记图 (G) 的以 (r) 为根的所有根向树形图个数为 (t^{root}(G,r))。所谓根向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向父亲。

记图 (G) 的以 (r) 为根的所有叶向树形图个数为 (t^{leaf}(G,r))。所谓叶向树形图，是说这张图的基图是一棵树，所有的边全部指向儿子。

定理叙述

矩阵树定理具有多种形式。其中用得较多的是定理 1、定理 3 与定理 4。

定理 1（矩阵树定理，无向图行列式形式） 对于任意的 (i)，都有

[t(G) = det L(G)inom{1,2,cdots,i-1,i+1,cdots,n}{1,2,cdots,i-1,i+1,cdots,n} ]

其中记号 (L(G)inom{1,2,cdots,i-1,i+1,cdots,n}{1,2,cdots,i-1,i+1,cdots,n}) 表示矩阵 (L(G)) 的第 (1,cdots,i-1,i+1,cdots,n) 行与第 (1,cdots,i-1,i+1,cdots,n) 列构成的子矩阵(原矩阵去掉第(i)行同时去掉第(i)列（(1leq ileq n)），即矩阵的主子式)。也就是说，无向图的 Laplace 矩阵具有这样的性质，它的所有 (n-1) 阶主子式都相等。

定理 2（矩阵树定理，无向图特征值形式） 设 (lambda_1, lambda_2, cdots, lambda_{n-1}) 为 (L(G)) 的 (n - 1) 个非零特征值，那么有

(t(G) = frac{1}{n}lambda_1lambda_2cdotslambda_{n-1})

定理 3（矩阵树定理，有向图根向形式） 对于任意的 (k)，都有

[t^{root}(G,k) = det L^{out}(G)inom{1,2,cdots,k-1,k+1,cdots,n}{1,2,cdots,k-1,k+1,cdots,n} ]

因此如果要统计一张图所有的根向树形图，只要枚举所有的根 (k) 并对 (t^{root}(G,k)) 求和即可。

定理 4（矩阵树定理，有向图叶向形式） 对于任意的 (k)，都有

[t^{leaf}(G,k) = det L^{in}(G)inom{1,2,cdots,k-1,k+1,cdots,n}{1,2,cdots,k-1,k+1,cdots,n} ]

因此如果要统计一张图所有的叶向树形图，只要枚举所有的根 (k) 并对 (t^{leaf}(G,k)) 求和即可。

「HEOI2015」小 Z 的房间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=105;
char mp[N][N];
int n,m;
typedef long long ll;
ll L[N][N];
int id[N][N],cnt;
const ll mod=1e9;

int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%s",mp[i]+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=m;++j){
			if(mp[i][j]=='.'){
				id[i][j]=++cnt;
				if(mp[i-1][j]=='.'){
					L[id[i][j]][id[i-1][j]]--;
					L[id[i-1][j]][id[i][j]]--;
					L[id[i][j]][id[i][j]]++;
					L[id[i-1][j]][id[i-1][j]]++;
					
				}
				if(mp[i][j-1]=='.'){
					L[id[i][j]][id[i][j-1]]--;
					L[id[i][j-1]][id[i][j]]--;
					L[id[i][j]][id[i][j]]++;
					L[id[i][j-1]][id[i][j-1]]++;
				}
				
			}
		}
	}
	int r=cnt-1;
	for(int i=1;i<=r;++i){
		for(int j=1;j<=r;++j){
			L[i][j]=(L[i][j]+mod)%mod;
		}
	}
	ll ans=1;
	for(int i=1;i<=r;++i){
		for(int j=i+1;j<=r;++j){
			while(L[j][i]){
				ll t=L[i][i]/L[j][i];
				for(int k=i;k<=r;++k){
					L[i][k]=(L[i][k]-t*L[j][k]%mod+mod)%mod;
					swap(L[i][k],L[j][k]);
				}
				ans*=-1;
			}
		}
		ans=ans*L[i][i]%mod;
	}
 	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
	return 0;
} 

注意处理整数时，写法的不同。

Luogu P2144 [FJOI2007]轮状病毒

需要高精度

n=int(input())
n=n+1
a=[[0 for i in range(n+2)]for j in range(n+2)]
a[1][1]=n-1
a[2][n]=-1
a[n][2]=-1
for i in range(2,n+1):
    a[i][1]=-1
    a[1][i]=-1
    a[i][i]=3
    if i+1<=n :
        a[i][i+1]=-1
        a[i+1][i]=-1
ans=1
for i in range(1,n):
    for j in range(i+1,n):
        while a[j][i]!=0:
            t=a[i][i]//a[j][i]
            for k in range(i,n):
                a[i][k]-=t*a[j][k]
                a[i][k],a[j][k]=a[j][k],a[i][k]
            ans=-ans
    ans*=a[i][i]
print(ans)