「学习笔记」min_25筛

前置姿势

魔力筛

其实不看也没关系

用途和限制

在(mathrm{O}(frac{n^{0.75}}{log n}))的时间内求出一个积性函数的前缀和。

所求的函数(mathbf f(x))要满足以下条件：

1. (mathbf f(p))是一个多项式，其中(p)是质数
2. (mathbf f(p^c))要能够快速计算。

算法流程

首先我们需要求出对于每一个(leftlfloor frac nd ight floor)求出(sum_{i=1}^{leftlfloor frac nd ight floor} [i in P] mathbf f(i))，其中(P)是质数集合。

首先筛出(sqrt n)以内的质数，设(P_j)表示从小到大第(j)个质数。

设(mathbf g(n, j))表示所有最小质因子大于(P_j)的数加上质数的(mathbf f(i))的和。

那么(mathbf g(n, |P|))就是所求。

考虑(mathbf g(n, j))的转移，分两种情况。

1. (P_j^2 > n)

   这个质数不会造成任何影响，于是(mathbf g(n, j) = mathbf g(n, j - 1))。

2. (P_J^2 leq n)

   这里我们要考虑筛掉了多少个数字。

   那么筛掉的数字中一定含有最小质因子(P_j)，所以我们考虑减去(mathbf g(frac n{P_j}, j - 1))，但是这样我们多减了前(j - 1)个质数的(mathbf f)之和，所以要加上(sum_{i=1}^{j - 1}mathbf f(P_j) = mathbf g(P_{j - 1}, j - 1))

总结一下就是：

[mathbf g(n,j)= egin{cases} mathbf g(n,j-1)&P_j^2gt n\ mathbf g(n,j-1)-mathbf f(P_j)[mathbf g(frac{n}{P_j},j-1)-mathbf g(P_{j - 1}, j - 1)]&P_j^2leq n end{cases} ]

这里可以滚动数组求一下。（感觉和魔力筛很像呢）

到这里我们发现我们已经对于(x = leftlfloor frac ni ight floor)求出(sum_{i=1}^x [i in P]mathbf f(i))

设(mathbf S(n, j) = sum_{i=1}^n [mathrm{minp}(i) geq P_j]mathbf f(i))

那么最终的答案为(mathbf S(n, 1) + 1)

然后我们将(n)以内的数字分为质数和合数

质数部分我们得出答案了，为(mathbf g(n, |P|) - mathbf g(P_{j - 1}, j - 1))

考虑合数，其实很简单，考虑枚举最小质因子和其出现次数，然后爆算就可以了。

[mathbf S(n,j)=mathbf g(n, |P|) - mathbf g(P_{j - 1}, j - 1)+sum_{k=j}^{P_k^2le n}sum_{e=1}^{P_k^{e+1}le n}mathbf S(frac{n}{P_k^e},k+1) imes mathbf f(P_k^e)+mathbf f(P_k^{e+1}) ]

然后就没啦。

最后讲一个东西，就是(mathbf S)不用记忆化。

例题什么的以后再补吧。