[HDU2829]Lawrence

题面在这里

题意

英国军官劳伦斯带领一群阿拉伯国民对奥斯曼帝国进行游击队袭击。
他的主要目标是铁路。
整条铁路有(n)个仓库,每个仓库都有一个战略价值(x_i)。
对于每条完整的铁路([l,r])，其战略价值为铁路上两两仓库的战略价值之和,即((sum_{k=l}^{r}x[k])^2-sum_{k=l}^{r}x[k]^2)
现在劳伦斯可以摧毁(m)条铁路,求他摧毁铁路后所有(m+1)段铁路战略价值之和的最小值

数据范围

[nle 1000,m<n,x_ile 100,多组数据 ]

sol

设(f[i][j])为将前(i)个仓库分成(j)段所需的最小代价,答案存在(f[i][m+1])里
那么(O(n^3))的方程显然:

[f[i][j]=min_{k=j}^{i-1}{f[k][j-1]+w[k+1,i]} ]

其中(w[i,j]=frac{1}{2}((sum_{k=i}^{k=j}x[i])^2-sum_{k=i}^{k=j}x[i]^2))

容易发现(w[i,j])满足区间包含关系单调

对于(ile i'le jle j'),可以发现

[(w[i,j]+w[i',j'])-(w[i,j']+w[i',j]) ]

[=(w[i,j]-w[i,j'])+(w[i',j']-w[i',j]) ]

[=-(sum_{k=i}^{j}{x[k]}) imes(sum_{l=j+1}^{j'}{x[l]})+(sum_{k=j+1}^{j'}{x[k]}) imes(sum_{l=i'}^{j}{x[l]}) ]

[=(sum_{k=j+1}^{j'}{x[k]}) imes(sum_{l=i'}^{j}{x[l]}-sum_{k=i}^{j}{x[k]})le 0 ]

( herefore w[i,j]+w[i',j']le w[i,j']+w[i',j]，)即(w[i,j])满足平行四边形不等式

然后我们需要证明决策单调;
令(s[i][j]=max){(p)|(f[i][j]=f[p][j-1]+w[p+1][i])},即最大转移点
打个表可以发现(s[i][j]le s[i+1][j])，证明这个就相当于把复杂度变成了(O(n^2))
其实我们根据这个不等式写一发交上去就可以AC了...
其实本人在A掉这道题之前也并没有证明转移点的单调性...

那么我们现在需要证明:(s[i][j]le s[i+1][j])
设(p_1=max){(p)|(f[i][j]=f[p][j-1]+w[p+1][i])},
那么原式即(forall p_2le p_1,)
(f[p_2][j-1]+w[p_2+1][i+1]ge f[p_1][j-1]+w[p_2+1][i+1])
由(p_1)的性质有(f[p_2][j-1]+w[p_2+1][i]ge f[p_1][j-1]+w[p_2+1][i])
那么只要证

[f[p_1][j-1]+w[p_1][i]+f[p_2][j-1]+w[p_2][i+1] ]

[le f[p_1][j-1]+w[p_1][i+1]+f[p_2][j-1]+w[p_2][i]， ]

即可(对这个式子有两行)

要证上式并不难,化简后会发现只要证

[w[p_1][i]+w[p_2][i+1]le w[p_1][i+1]+w[p_2][i]， ]

对于(p_2le p_1le i<i+1)，上式明显就是四边形不等式
综上所述，命题得证

本人证明不是很好...如有疏漏欢迎指出

代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=1010;

il ll read(){
	RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
	return data*w;
}

il void file(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	freopen("a.out","w",stdout);
}

int n,m,a[N],d[N],w[N][N],f[N][N],s[N][N];
int main()
{
	while(2333){
		n=read();m=read();
		if(!n&&!m)break;
		for(RG int i=1;i<=n;i++){
			d[i]=a[i]=read();d[i]*=a[i];
			a[i]+=a[i-1];d[i]+=d[i-1];
		}
		
		for(RG int i=1;i<=n;i++)
			for(RG int j=i+1;j<=n;j++){
				w[i][j]=(a[j]-a[i-1])*(a[j]-a[i-1])-(d[j]-d[i-1]);
				w[i][j]/=2;
			}
		
		memset(f,63,sizeof(f));
		
		for(RG int i=1;i<=n;i++){
			f[i][0]=w[1][i];
			for(RG int j=1;j<=min(i-1,m);j++){
				for(RG int k=s[i-1][j];k<=i-1;k++){
					if(f[i][j]>=f[k][j-1]+w[k+1][i]){
						f[i][j]=f[k][j-1]+w[k+1][i];
						s[i][j]=k;
					}
				}
			}
		}	
		printf("%d
",f[n][m]);
	}
	return 0;
}