题目大意
你有 (n) 个数 (a_1,a_2...a_n)
要进行 (k) 次操作
每次随机选择一个数 (x)，使得答案加上 (prod_{i
eq x}a_i) ，并将 (a_x) 减去 (1)
求最后答案的期望，对 (1e9+7) 取模
Sol
设 (b_i) 表示 (i) 选择了多少次
把对 (a_x) 的一次操作的贡献看成是
[prod a_i−prod a′_i
]
其中 (a′_i) 表示将 (a_x) 减去 (1) 后的数组。
连续操作后，剩下的项就只剩下
[prod a_i−prod(a_i−b_i)
]
考虑计算 (prod(a_i−b_i)) 的期望
考虑生成函数
答案就是
[prod_{i=1}^{n}(sum_{j=0}^{infty}frac{a_i-j}{j!}x^j)[x^k]
]
([x^k]) 表示 (x^k) 的系数，最后乘上 (k!) 和 (frac{1}{n^k})
那一坨东西化简一下就是
[e^{nx}prod_{i=1}^{n}(a_i-x)
]
(e^{nx}) 直接泰勒展开求就好了，后面的直接分治NTT暴力卷起来就好了
最后把两个多项式再卷一下
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod(1e9 + 7);
const int maxn(5005);
inline void Inc(int &x, int y) {
if ((x += y) >= mod) x -= mod;
}
inline int Pow(ll x, int y) {
register ll ret = 1;
for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
if (y & 1) ret = ret * x % mod;
return ret;
}
int f[maxn], n, k, ans;
int main() {
register int i, j, a, fac, cur;
scanf("%d%d", &n, &k), f[0] = 1;
for (i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &a);
for (j = i; j; --j) f[j] = 1LL * f[j] * a % mod, Inc(f[j], mod - f[j - 1]);
f[0] = 1LL * f[0] * a % mod;
}
a = Pow(n, 1LL * k * (mod - 2) % (mod - 1)), cur = Pow(n, k - min(n, k));
for (fac = 1, i = k - min(n, k) + 1; i <= k; ++i) fac = 1LL * fac * i % mod;
for (i = min(n, k); ~i; --i) {
Inc(ans, 1LL * f[i] * fac % mod * cur % mod);
cur = 1LL * cur * n % mod, fac = 1LL * fac * Pow(k - i + 1, mod - 2) % mod;
}
ans = 1LL * ans * a % mod, ans = (f[0] - ans + mod) % mod;
printf("%d
", ans);
return 0;
}