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  • 线段树标记永久化

    前言

    对于树套树,主席树等使用到线段树的比较复杂的数据结构,如果区间修改的话,打标记后pushdown或者pushup是很难做到的完全不行吧
    所以这个时候,一个神奇的东西诞生了。。。

    正题

    线段树标记永久化,维护一个标记,假设为cov,再维护一个sum
    假设修改区间[ql, qr]全部加上v:
    和平常一样,到这个区间后cov[x] += v
    但是我们又不想pushup,怎么办?
    很好做,更新的时候每次sum[x] += v * (qr - ql + 1) (注意这里的qr,ql是完全被包含于线段树[L, R]区间内的)
    这个很好理解

    void Modify(int x, int l, int r, int ql, int qr, int v){
    	sum[x] += v * (qr - ql + 1);
    	if(ql == l && qr == r){  cov[x] += v; return;  }
    	int mid = (l + r) >> 1;
    	if(qr <= mid) Modify(x << 1, l, mid, ql, qr);
    	else if(ql > mid) Modify(x << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
    	else Modify(x << 1, l, mid, ql, mid), Modify(x << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, qr);
    }
    

    那么询问怎么办
    假设我们现在一个区间都打上了标记,表示为这个区间的子区间都需要累加区间修改
    换句话说,该区间需要累加某个区间的标记,当且仅当这个区间完全包含该区间,这不就是线段树询问时从上往下累加标记就行了吗?
    最后,累加的标记ad * (r - l + 1) + sum[x]就是询问的答案

    int Query(int x, int ad, int l, int r, int ql, int qr){
    	if(ql == l && qr == r) return sum[x] + ad * (r - l + 1);
    	int mid = (l + r) >> 1;
    	if(qr <= mid) return Query(x << 1, ad + cov[x], l, mid, ql, qr);
    	if(ql > mid) return Query(x << 1 | 1, ad + cov[x], mid + 1, r, ql, qr);
    	return Query(x << 1, ad + cov[x], l, mid, ql, mid) + Query(x << 1 | 1, ad + cov[x], mid + 1, r, mid + 1, qr);
    }
    

    最后

    特别鸣谢 Orz Zsy教会我标记永久化

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