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  • 【LOJ#6682】梦中的数论(min_25筛)

    【LOJ#6682】梦中的数论(min_25筛)

    题面

    LOJ

    题解

    注意题意是(j|i)并且((j+k)|i)
    不难发现(j)((j+k))可以任意取(i)的任意因数,且(jlt j+k),所以答案就是:

    [Ans=sum_{i=1}^n {sigma(i)choose 2} ]

    所以要做的就是筛(sigma^2(i))(sigma(i))的前缀和。
    (sigma(i))这个东西就是(displaystyle sum_{i=1}^n lfloorfrac{n}{i} floor),可以用数论分块在(O(sqrt n))的时间内求解。
    然后这两个东西都是积性函数,所以算(sigma^2)可以直接(min\_25)筛,本质上是筛质数个数。
    然后讨论一下边界:(f(1)=1,f(p^k)=(k+1)^2)
    转移啥的就很显然了。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    #define ll long long
    #define MAX 200200
    #define MOD 998244353
    ll n;int ans;
    ll id1[MAX],id2[MAX],w[MAX],m,f[MAX];
    int ID(ll x){return x<MAX?id1[x]:id2[n/x];}
    bool zs[MAX];
    int pri[MAX],tot;
    void Sieve(int n)
    {
    	for(int i=2;i<=n;++i)
    	{
    		if(!zs[i])pri[++tot]=i;
    		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
    		{
    			zs[i*pri[j]]=true;
    			if(i%pri[j]==0)break;
    		}
    	}
    }
    int Sqr(int x){return 1ll*x*x%MOD;}
    int S(ll x,int y)
    {
    	if(x<=1||pri[y]>x)return 0;
    	int k=ID(x),ret=4ll*(f[k]-y+1)%MOD;
    	for(int i=y;i<=tot&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;++i)
    	{
    		ll t1=pri[i],t2=1ll*pri[i]*pri[i];
    		for(int e=1;t2<=x;++e,t1=t2,t2*=pri[i])
    			ret=(ret+1ll*Sqr(e+1)*S(x/t1,i+1)+Sqr(e+2))%MOD;
    	}
    	return ret;
    }
    int main()
    {
    	cin>>n;Sieve(sqrt(n));
    	for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
    	{
    		j=n/(n/i);ans=(ans+MOD-1ll*(n/i)%MOD*((j-i+1)%MOD)%MOD)%MOD;
    		w[++m]=n/i;f[m]=(w[m]-1+MOD)%MOD;
    		if(w[m]<MAX)id1[w[m]]=m;
    		else id2[j]=m;
    	}
    	for(int j=1;j<=tot;++j)
    		for(int i=1;i<=m&&1ll*pri[j]*pri[j]<=w[i];++i)
    		{
    			int k=ID(w[i]/pri[j]);
    			f[i]=(f[i]+MOD-(f[k]+MOD-(j-1)%MOD)%MOD)%MOD;
    		}
    	ans=1ll*(ans+S(n,1)+1)*(MOD+1)/2%MOD;
    	printf("%d
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/11178395.html
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