【LOJ#6682】梦中的数论（min_25筛）
题面
题解
注意题意是(j|i)并且((j+k)|i)，
不难发现(j)和((j+k))可以任意取(i)的任意因数，且(jlt j+k)，所以答案就是：
[Ans=sum_{i=1}^n {sigma(i)choose 2}
]
所以要做的就是筛(sigma^2(i))和(sigma(i))的前缀和。
(sigma(i))这个东西就是(displaystyle sum_{i=1}^n lfloorfrac{n}{i}
floor)，可以用数论分块在(O(sqrt n))的时间内求解。
然后这两个东西都是积性函数，所以算(sigma^2)可以直接(min\_25)筛，本质上是筛质数个数。
然后讨论一下边界：(f(1)=1,f(p^k)=(k+1)^2)。
转移啥的就很显然了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
#define MOD 998244353
ll n;int ans;
ll id1[MAX],id2[MAX],w[MAX],m,f[MAX];
int ID(ll x){return x<MAX?id1[x]:id2[n/x];}
bool zs[MAX];
int pri[MAX],tot;
void Sieve(int n)
{
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!zs[i])pri[++tot]=i;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]==0)break;
}
}
}
int Sqr(int x){return 1ll*x*x%MOD;}
int S(ll x,int y)
{
if(x<=1||pri[y]>x)return 0;
int k=ID(x),ret=4ll*(f[k]-y+1)%MOD;
for(int i=y;i<=tot&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;++i)
{
ll t1=pri[i],t2=1ll*pri[i]*pri[i];
for(int e=1;t2<=x;++e,t1=t2,t2*=pri[i])
ret=(ret+1ll*Sqr(e+1)*S(x/t1,i+1)+Sqr(e+2))%MOD;
}
return ret;
}
int main()
{
cin>>n;Sieve(sqrt(n));
for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1)
{
j=n/(n/i);ans=(ans+MOD-1ll*(n/i)%MOD*((j-i+1)%MOD)%MOD)%MOD;
w[++m]=n/i;f[m]=(w[m]-1+MOD)%MOD;
if(w[m]<MAX)id1[w[m]]=m;
else id2[j]=m;
}
for(int j=1;j<=tot;++j)
for(int i=1;i<=m&&1ll*pri[j]*pri[j]<=w[i];++i)
{
int k=ID(w[i]/pri[j]);
f[i]=(f[i]+MOD-(f[k]+MOD-(j-1)%MOD)%MOD)%MOD;
}
ans=1ll*(ans+S(n,1)+1)*(MOD+1)/2%MOD;
printf("%d
",ans);
return 0;
}