【CF438E】The Child and Binary Tree（多项式运算，生成函数）
题面
有一个大小为(n)的集合(S)
问所有点权都在集合中，并且点权之和分别为([0,m])的二叉树的个数。
(n,m<=10^5)
题解
设(f(i))表示点权和为(i)的二叉树个数,(c(i))是集合中数的生成函数，那么我们可以得到
[f(n)=sum_{i=1}^{n}c(i)sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j)
]
显然有(f(0)=1)
构造生成函数(F(x)=sum_{i=0}^{infty}f(i)x^i,C(x)=sum_{i=0}^{infty}c(i)x^i)。回顾递推式，后面的显然是(F(x)*F(x))，而如果设(G(x)=F(x)*F(x))
那么，根据上面的式子([x^n]F(n)=sum_{i=0}^{n}c(i)[x^n]G(n-i))
所以，(F(x)=G(x)*C(x)+1=F(x)*F(x)*C(x)+1)，要(+1)的原因是，如果只算卷积，我们会漏算(f(0)=1)。直接解方程就行了。
[F(x)=frac{2}{1+sqrt{1-4C(x)}}
]
负号被舍去的原因是，生成函数的(x)没有实际意义，因此可以带入任何数，当带入(x=0)时，分母为(0)，所以底下为正号。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 500000
#define MOD 998244353
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int n,m,inv2,d[MAX];
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
namespace NTT
{
int r[MAX],N,M,l;
int A[MAX],B[MAX];
void NTT(int *P,int n,int opt)
{
int N=1,l=0;for(N=1;N<n;N<<=1)++l;
for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
for(int i=1;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
for(int i=1;i<N;i<<=1)
{
int W=fpow(3,(MOD-1)/(i<<1));
for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
{
int w=1;
for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*W%MOD)
{
int X=P[j+k],Y=P[i+j+k]*1ll*w%MOD;
P[j+k]=(X+Y)%MOD;P[i+j+k]=(X-Y+MOD)%MOD;
}
}
}
if(opt==-1)
{
reverse(&P[1],&P[N]);
for(int i=0,inv=fpow(N,MOD-2);i<N;++i)P[i]=1ll*P[i]*inv%MOD;
}
}
}
int b[MAX];
int A[MAX],B[MAX],C[MAX],D[MAX],c[MAX];
void Inv(int *a,int *b,int len)
{
if(len==1){b[0]=fpow(a[0],MOD-2);return;}
Inv(a,b,len>>1);
for(int i=0;i<len;++i)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT::NTT(A,len<<1,1);NTT::NTT(B,len<<1,1);
for(int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%MOD*B[i]%MOD;
NTT::NTT(A,len<<1,-1);
for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+b[i])%MOD;
for(int i=0;i<len;++i)b[i]=(b[i]+MOD-A[i])%MOD;
for(int i=0;i<(len<<1);++i)A[i]=B[i]=0;
}
void Sqrt(int *a,int *b,int len)
{
if(len==1){b[0]=a[0];return;}
Sqrt(a,b,len>>1);
for(int i=0;i<=len;++i)C[i]=a[i];
Inv(b,D,len);
NTT::NTT(C,len<<1,1);NTT::NTT(D,len<<1,1);
for(int i=0;i<(len<<1);++i)D[i]=1ll*D[i]*C[i]%MOD;
NTT::NTT(D,len<<1,-1);
for(int i=0;i<len;++i)b[i]=1ll*(D[i]+b[i])%MOD*inv2%MOD;
for(int i=0;i<=(len<<1);++i)C[i]=D[i]=0;
}
int main()
{
n=read();m=read();inv2=fpow(2,MOD-2);
for(int i=1;i<=n;++i)++d[read()];
int N=1;while(N<=m)N<<=1;
for(int i=0;i<N;++i)d[i]=(-4*d[i]+MOD)%MOD;
++d[0];
Sqrt(d,c,N);
for(int i=0;i<N;++i)d[i]=0;
c[0]=(c[0]+1)%MOD;
Inv(c,d,N);
for(int i=0;i<=m;++i)d[i]=(d[i]+d[i])%MOD;
for(int i=1;i<=m;++i)printf("%d
",d[i]);
return 0;
}