【BZOJ3243】【NOI2013】向量内积（矩阵，数论）
题面
题解
这题好神仙。
首先(60)分直接是送的。加点随机之类的可以多得点分。
考虑正解。
我们先考虑一下暴力。
我们把(n)个向量拼接在一起，形成一个(n imes d)的矩阵。
显然这个矩阵和它的转置矩阵，也就是一个(d imes n)的矩阵做乘法，
结果是一个(n imes n)的矩阵，第(i)行第(j)列就是(i,j)两个向量的结果。
如果这个矩阵全是(1)（除主对角线），那么必定是无解的。
否则我们只需要在这个矩阵上随便找到一个零就好了。
然而这样子和暴力的复杂度是一模一样的。
利用一些随机的性质来优化。
对于任意一个向量，我们考虑前面所有向量和它的内积的和。
首先考虑模(2)意义下，结果只有(0,1)
如果前面所有的向量和它的内积都是(1)，那么假设当前是第(i)个向量，
必定就有前面所有的内积结果和(i-1)同余，那么如果一旦不同余证明有内积为(0)
这样子可以很容易被(hack)，所以我们多算几次，每次随机化一些顺序就好了。
对于模(3)意义，结果有(0,1,2)，如果继续按照之前那么算会错。
考虑内积的平方，这样模之后的结果就只有(0,1)了，就和前面是一样的了。
当然了，写的时候全部当做平方算就好了，没有影响的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 111111
#define ll long long
#define RG register
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int n,D,K,Vec[MAX][100],p[MAX],c[100][100];
int Calc(int a,int b)
{
int ret=0;
for(int i=0;i<D;++i)ret=(ret+Vec[a][i]*Vec[b][i])%K;
return ret;
}
int Solve(int x)
{
int ret=0;
for(int i=0;i<D;++i)
for(int j=0;j<D;++j)
ret+=c[i][j]*Vec[x][i]*Vec[x][j],c[i][j]+=Vec[x][i]*Vec[x][j];
return ret%K;
}
int main()
{
n=read();D=read();K=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=0;j<D;++j)Vec[i][j]=read()%K;
for(int i=1;i<=n;++i)p[i]=i;
int Case=5;
while(Case--)
{
random_shuffle(&p[1],&p[n+1]);;memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1;i<=n;++i)
if(Solve(p[i])!=(i-1)%K)
for(int j=1;j<i;++j)
if(Calc(p[i],p[j])%K==0)
{
if(p[i]>p[j])swap(p[i],p[j]);
printf("%d %d
",p[i],p[j]);
return 0;
}
}
puts("-1");return 0;
}