这节课涉及到怎么求解微分方程,怎么求解一阶常系数微分方程。上一节课是离散情况,这节课我们计算连续情况。
微分方程组的解
从例子讲起
已知两个微分方程
已知 (U(t)=left( egin{array}{c} u_1(t) \ u_2(t) \ end{array} ight)),(U_0=left( egin{array}{c} u_1(0) \ u_2(0) \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} 1 \ 0 \ end{array} ight))
根据两个方程等式右边写出系数矩阵:
很明显,矩阵 (A) 的行列式为0,所以她是个奇异矩阵。
计算特征方程
可得
将两个特征值分别代入
可得
微分方程的解为
(e^{lambda _1 t}x_1) 和 (e^{lambda _2 t}x_2) 是方程组的两个特解。
两个解的纯指数形式是上次讲的纯幂形式在微分方程中的类似体。
在差分方程中 (u_{k+1}=Au_k), 有
这里我们关心的是指数形式。
计算 (c_1、c_2) ,将 (lambda) 和 (x) 代入,可得
已知初值 (U_0) ,可得
故,最后得到通解:
当 (t ightarrow ∞,frac{1}{3} e^{-3 t} left( egin{array}{c} 1 \ -1 \ end{array} ight) ightarrow 0) ,(U(t)) 是稳定状态
收敛性
什么时候微分方程的解才能到达稳态?
- 当(lambda) 实部小于零,即 $ Re (lambda)<0 $ (e^{lambda t} ightarrow 0) , (U(t) ightarrow 0) ,(U(t)) 具有稳定性。
如果特征值是复数,假如 (lambda=-3+6i) .
取模后只有实部作用,因为根据欧拉公式
她在单位圆内旋转。
所以只有实数部分是起作 用的。
- 当 (lambda_1=0) ,并且其余的 (Relambda<0) ,(U(t)) 处于稳定状态。
- 当任意 (Relambda>0) 时,解无法收敛。
以 (2*2) 矩阵为例
已知微分方程组中系数矩阵
对于稳定性,我们要知道她的两个特征值实部是否都是小于零。
问题是,不计算,是否可以直接从矩阵判断呢?
(A) 的迹是 (a+d) ,如果两个特征值都小于零,则
并且满足
从这两个条件就能看出是否稳定。
她是简便而且实用的,因为二阶系统稳定性是我们最关心的,在实际中遇到的最多。
解耦(对角化)
原方程组有两个相互耦合的未知函数,矩阵 (A) 也表明 (u_1、u_2) 互相耦合。
特征值和特征向量的作用是解耦,又称为对角化,我们可以把方程的解表示为 (S) 和 (Lambda) 的形式。
回到原来的微分方程组,矩阵 (A) 的对角元素都不等于零
通过特征向量矩阵 (S) 解耦 (u) 。令
把 (u) 表示为特征向量(基)的线性组合。
将 (u) 代入方程中,(S) 是常数阵,可以提取出来,得
两边乘以 (S^{-1})
化简
(Lambda) 为特征值矩阵。这里得到关于 (v) 得对角化方程组。
新方程组不存在耦合,(frac{dv_1}{ ext{dt}}=Lambda v_1,frac{dv_2}{ ext{dt}}=Lambda v_2) ......这是各未知数之间没有联系得方程组。
她们的解是
其中,(e^{A t}) 称为矩阵指数。
矩阵指数
回顾泰勒展开式的两个公式
第二个式子被称为几何级数。
这些公式对矩阵同样适用,就像普通的函数一样,类似的,有
第一个式子就是 (e^{A t}) 的定义式子。
通过展开式,我们可以看出 (e^{A t}) 每一项分母越来越大,因此无论 (A、t) 是多少,她的通项总是收敛于0,级数最终最终收敛于某值。
但 ((I-At)^{-1}) 不一定是收敛的。假如 (A) 的 (lambda>0) ,则 (A^n) ,(lambda^n) 。 级数不收敛。只有 (lambda<0) ,级数收敛,根据要求可以让级数约等于前面几项。
证明
证明 (Se^{Lambda t}S^{-1} =e^{A t})
前提条件是有 (n) 个特征向量,(S) 可逆,矩阵 (A) 才能对角化。
其中
矩阵指数 (e^{Lambda t}) 表达式为
全部特征值小于0时,(e^{Lambda t}) 的对角线上全部元素收敛于0。
我们可以在复平面上表示出来:
- 全部特征值小于0情况,就是当特征值位于左半平面时,可以使得微分方程存在稳定的解。
- 当特征值绝对值 (|lambda|<1) 时,即在单位元内,矩阵的幂收敛于0
高阶微分方程的求解
如何求解 (y''+by'+ky=0) ?
想象斐波那契数列的思路
令
增加一个方程
把向量 (u) 作为方程的未知数,原方程化为 (u) 的一阶微分方程。
一个二阶微分方程变换为一个一阶方程,可以得到一个 (2*2) 矩阵 (A).
类似的,对于一个5阶微分方程,可以得到一个 (5*5) 矩阵,这个方程使得5阶转换为一阶,然后我们就可以计算特征值和特征向量。