基础排序算法之并归排序(Merge Sort)

并归排序是学习分治法 (Merge Sort) 的好例子。而且它相对于选择，插入，冒泡排序来说，算法性能有一定提升。我首先会描述要解决的问题，并给出一个并归排序的例子。之后是算法的思路以及给出伪代码。算法的实现部分用Python完成。最后自己尝试说明白算法分析。

问题描述

问题描述很简单，输入一组未排序的数组，如左边的数组，通过并归排序算法的计算，输出一组正确排序的数组，如右边的数组。

如果利用上面这个例子来做并归排序的话，应该首先将该数组切割成两半，对左边一半进行排序，在对右边一半进行排序，在合并排序好的左右数组。如下图所示：

思路和伪代码

可以从例子中看出，并归排序就是一个先分后合的过程：

1. 递归排序左半部分数组；
2. 递归排序右半部分数组；
3. 合并 (Merge) 这两部分生成最后结果。 

合并 (Merge)过程的核心思想就是：给左右两个数组分别设定一个标记符号i和j，通过比对当前i和j位置的数的大小，选择小的值加入到最后的结果中去。

合并(Merge) 的伪代码:

C = output[length=n]
A = 1st sorted array[n/2]
B = 2st sorted array[n/2]
i = 1
j = 1
for k=1 to n
    if A(i) < B(j)
        C(k) = A(i)
        i++
    else B(j) < A(i)
        C(k) = B(j)
        j++
end

算法实现

def merge(left, right):
    result = []
    i, j=0, 0
    ll, lr = len(left), len(right)
    while i < ll and j < lr:
        if i < ll and j < lr:
            if left[i] < right[j]:
                result.append(left[i])
                i = i+1
            else:
                result.append(right[j])
                j =j+1       
    result+=left[i:]
    result+=right[j:]
    return result


def merge_sort(datalist):    
    length=len(datalist)
    result=datalist
    if length>1:        
        left=datalist[0:int(length/2)]
        right=datalist[int(length/2):length]       
        left=merge_sort(left)
        right=merge_sort(right)
        result=merge(left,right)
    return result

算法分析

首先来分析在合并 (Merge) 过程的所需要的运行时间。

C = output[length=n]
A = 1st sorted array[n/2]
B = 2st sorted array[n/2]
i = 1
j = 1
for k=1 to n
    if A(i) < B(j)
        C(k) = A(i)
        i++
    else B(j) < A(i)
        C(k) = B(j)
        j++
end

第4和5行分别需要一次操作，整个for循环中，一次循环需要四次操作，假如有m个数那么for循环整个需要4m次操作，那么最后的运行时间为4m+2。因为m总是大于1，所以为了方便计算，假设最后运行时间小于6m。

之后再来看整个算法的运行时间，采用递归树的方法，树的高度为lg­n+1，树的每一层运行时间都是6n，总共的运行时间为6nlgn+6n。所以合并排序的时间复杂度为O(nlgn)。