欧拉定理及其证明

欧拉定理及其证明[补档]

一.欧拉定理

背景：首先你要知道什么是欧拉定理以及欧拉函数。

下面给出欧拉定理，对于互质的a,p来说，有如下一条定理

[a^{phi(p)}equiv1(mod;p) ]

这就是欧拉定理

二.剩余系

定义：对于集合({k*m+a|kin mathbb{Z},0<=a<m}),我们将它称之为一个模m的同余类记为(overline{a})

那么很显然的，这样的同余类有m个，他们构成m的完全剩余系。

对于m来说，与m互质的数有(phi(m))个，那么这(phi(m))个数所代表的同余类合称为m的简化剩余系。

三.证明欧拉定理

对于数p来说，他有一个简化剩余系，我们记为(x_1,x_2...x_{phi(p)}),对于任意一个(x_i*a)因为(x_i,a)都与p互质，所以它们的乘积必然在简化剩余系中。

很显然的，对于任意的(x_i,x_j)来说

[a*x_i ot equiv a*x_j(mod;p) ]

(毕竟左右两边一个质因子都没有呢)

有了上面的条件，我们可以得出这个结论

[x_1*a*x_2*a*...x_{phi(p)}*a为x_1,x_2...x_{phi(p)}的一个排列 ]

则

[ecause x_1*x_2*...*x_{phi(p)}equiv x_1*a*x_2*a*...x_{phi(p)}*a\ herefore 1equiv a^{phi(p)} ]

证毕。