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  • Moscow Pre-Finals Workshop 2016. National Taiwan U Selection

    A. As Easy As Possible

    每个点往右贪心找最近的点,可以得到一棵树,然后倍增查询即可。

    时间复杂度$O((n+m)log n)$。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std ;
    
    typedef long long LL ;
    typedef long long Int ;
    typedef pair < int , int > pi ;
    
    #define clr(a,x) memset ( a , x , sizeof a ) 
    char s[100020];
    int a[100020];
    int n;
    int nxt[100020][4];
    int dp[18][100020];
    int cg(char c){
    	if(c=='e')return 0;
    	if(c=='a')return 1;
    	if(c=='s')return 2;
    	return 3;
    }
    void prepare(){
    	int cur[4];
    	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=cg(s[i]);
    	for(int i=0;i<4;i++)cur[i]=n;
    	for(int i=n-1;i>=0;i--){
    		cur[a[i]]=i;
    		for(int j=0;j<4;j++){
    			nxt[i][j]=cur[j];
    		}
    	}
    	for(int i=0;i<4;i++)nxt[n][i]=n;
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		int cur=nxt[i][0];
    		for(int it2=1;it2<4;it2++){
    			cur=nxt[cur][(it2)%4];
    		}
    		dp[0][i]=cur;
    	}
    	for(int it=1;(1<<it)<=n;it++){
    		for(int i=0;i<n;i++)dp[it][i]=n;
    		int len=1<<it;
    		for(int i=0;i<n;i++){
    			int to=dp[it-1][i]+1;
    			if(to>=n){dp[it][i]=n;continue;}
    			dp[it][i]=dp[it-1][to];
    		}
    	}
    	/*
    	for(int i=0;(1<<i)<=n;i++){
    		for(int j=0;j<n;j++)printf("%d ",dp[i][j]);puts("");
    	}
    	*/
    }
    int main(){
    	scanf("%s",s);	
    	n=strlen(s);
    	prepare();
    	int q;
    	scanf("%d",&q);
    	while(q--){
    		int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
    		l--,r--;
    		int ans=0;
    		int cur=l;
    		int maxx=0;while((1<<maxx)<=n)maxx++;
    		maxx--;
    		//printf("maxx=%d
    ",maxx);
    		for(int i=maxx;i>=0&&l<=r;i--){
    			if(dp[i][l]<=r){
    			//	printf("l=%d dp=%d
    ",l,dp[i][l]);
    				ans|=1<<i;
    				l=dp[i][l]+1;
    				continue;
    			}
    		}
    		printf("%d
    ",ans);	
    	}
    	return 0;
    }
    

      

    B. Be Friends

    从高位到低位依次考虑,对于每一位,按这一位将数字分成两个集合,显然这两个集合要优先连边,那么只需要找到横跨这两个集合的最小的边即可,用Trie完成查询。

    时间复杂度$O(nlog^2m)$。

    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    const int N=100010,M=N*32;
    int n,i,a[N],q[N],son[M][2],tot;long long ans;
    inline void ins(int p){
      for(int o=29,x=0;~o;o--){
        int w=p>>o&1;
        if(!son[x][w])son[x][w]=++tot;
        x=son[x][w];
      }
    }
    inline int ask(int p){
      int t=0;
      for(int o=29,x=0;~o;o--){
        int w=p>>o&1;
        if(son[x][w])x=son[x][w];else x=son[x][w^1],t|=1<<o;
      }
      return t;
    }
    void solve(int o,int l,int r){
      if(o<0||l>r)return;
      int L=l-1,R=r+1;
      for(int i=l;i<=r;i++)if(a[i]>>o&1)q[++L]=a[i];else q[--R]=a[i];
      for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=q[i];
      solve(o-1,l,L),solve(o-1,R,r);
      if(l>L||R>r)return;
      for(int i=l;i<=L;i++)ins(a[i]);
      int ret=~0U>>1;
      for(int i=R;i<=r;i++)ret=std::min(ret,ask(a[i]));
      ans+=ret;
      for(int i=0;i<=tot;i++)son[i][0]=son[i][1]=0;
      tot=0;
    }
    int main(){
      scanf("%d",&n);
      for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
      solve(29,1,n);
      printf("%lld",ans);
      return 0;
    }
    

      

    C. Coprime Heaven

    留坑。

    D. Drawing Hell

    游戏的最终局面一定是一个三角剖分,因此边数只与凸包上的点数有关,判一下奇偶性即可。

    E. Easiest Game

    合法的$(r,s)$需要满足:

    1.$r+sleqmin(n,m)$

    2.$gcd(r,s)=1$

    3.$rmod 2 eq smod 2$

    4.$max(r,s)leqlfloorfrac{max(n,m)}{2} floor$

    假设没有互质的限制,那么可以直接$O(1)$算出答案$f(n,m)$,加上限制之后$ans=sum_{d}mu(d)f(lfloorfrac{n}{d} floor,lfloorfrac{m}{d} floor)$,分段计算即可。

    时间复杂度$O(n+Tsqrt{n})$。

    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<math.h>
    #include<string.h>
    #include<string>
    #include<vector>
    #include<set>
    #include<map>
    #include<queue>
    #include<time.h>
    #include<assert.h>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    typedef pair<int,int>pi;
    const int Maxp=10000002;
    int pri[3000020],cntp;
    bool isp[Maxp];
    int miu[Maxp],sum[Maxp];
    int realans;
    void precal(){
    	for(int i=2;i<Maxp;i++){
    		if(!isp[i]){pri[cntp++]=i;miu[i]=-1;}
    		for(int j=0;j<cntp;j++){
    			if(1LL*pri[j]*i>=Maxp)break;
    			isp[pri[j]*i]=1;
    			if(i%pri[j]){
    				miu[i*pri[j]]=-miu[i];
    			}
    			else{
    				miu[i*pri[j]]=0;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	sum[1]=1;
    	for(int i=2;i<Maxp;i++){
    		sum[i]=sum[i-1];
    		if(i&1)sum[i]+=miu[i];
    	}
    }
    int n,m;
    int done[111][111];
    bool has[111][111];
    int cnt[111][111];
    int di[4][2]={{1,1},{1,-1},{-1,1},{-1,-1}};
    bool ok(int x,int y){
    	return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m;	
    }
    bool check(int dx,int dy){
    	memset(done,0,sizeof done);
    	queue<pi>q;
    	done[1][1]=1;q.push(pi(1,1));
    	while(!q.empty()){
    		pi u=q.front();q.pop();
    		int x=u.first,y=u.second;
    		for(int i=0;i<4;i++){
    			int nx=x+dx*di[i][0],ny=y+dy*di[i][1];
    			if(ok(nx,ny)&&!done[nx][ny]){done[nx][ny]=1;q.push(pi(nx,ny));}
    		}
    		for(int i=0;i<4;i++){
    			int nx=x+dy*di[i][0],ny=y+dx*di[i][1];
    			if(ok(nx,ny)&&!done[nx][ny]){done[nx][ny]=1;q.push(pi(nx,ny));}
    		}
    	}
    	bool flag=1;
    	for(int i=1;i<=n&&flag;i++)for(int j=1;j<=m&&flag;j++)if(!done[i][j]){flag=0;break;}
    	return flag;
    }
    bool should(int x,int y){
    	if(x>y)swap(x,y);
    	return ((x+y)<=min(n,m))&&(__gcd(x,y)==1)&&((x%2)!=(y%2))&&(max(x,y)<=max(n,m)/2);
    }
    void solve(){
    	vector<pi>rep;
    	memset(has,0,sizeof has);
    	for(int i=1;i<=max(n,m);i++){
    		for(int j=1;j<=max(n,m);j++){
    			if(check(i,j)){
    				//printf("i=%d j=%d
    ",i,j);
    				realans++;
    				has[i][j]=1;
    				rep.push_back(pi(i,j));
    			}
    			//if(should(i,j)!=has[i][j])printf("wax=%d y=%d hasval=%d
    ",i,j,has[i][j]);
    		}
    	}
    	//printf("ans[%d][%d]=
    ",n,m);
    	//for(pi u:rep)printf("%d %d
    ",u.first,u.second);
    }
    
    LL cal(int st,int ed,int del){
    	if(st>ed)return 0;
    	int n=(ed-st)/del+1;
    	ed=st+(n-1)*del;
    	return 1LL*(st+ed)*n/2;
    }
    LL f(int A,int B){
    	LL ret=0;
    	if(A-1<=B){
    		ret=cal(2,A-1,2);//2+4+...+A-1
    	}
    	else{
    		ret=cal(2,B,2);
    		if((A-B+B)&1)ret+=cal(2*B-A+1,B-1,2);
    		else ret+=cal(2*B-A+2,B-1,2);
    	}
    	return ret;	
    }
    LL go(int n,int m){
    	if(n==1&&m==1)return 1;
    	if(n>m)swap(n,m);
    	int A=n,B=m/2;
    	LL ret=0;
    	for(int g=1,ng;g<=B&&g<=A;g=ng+1){
    		int val1=A/g,val2=B/g;
    		ng=min(A/val1,B/val2);
    		ret+=1LL*(sum[ng]-sum[g-1])*f(val1,val2);
    		//printf("g=%d ret=%lld val1=%d val2=%d
    ",g,ret,val1,val2);
    	}
    	return ret/2;
    	return ret;
    }
    int main(){
    	/*
    	int LIM=100;
    	for(n=1;n<=LIM;n++)
    		for(m=n;m<=LIM;m++){solve();}
    	puts("ok");
    	*/
    	/*
    	for(int i=1;i<=LIM;i++){
    		for(int j=1;j<=LIM;j++){
    			printf("%2d ",cnt[min(i,j)][max(i,j)]);
    		}
    		puts("");
    	}
    	*/
    	precal();
    	int _;scanf("%d",&_);
    	while(_--){
    		scanf("%d%d",&n,&m);
    //	for(n=1;n<=100;n++)
    //		for(m=1;m<=100;m++){
    		LL ans=go(n,m);
    		printf("%lld
    ",ans);
    		//realans=0;
    		//solve();
    		//if((realans+1)/2!=ans){printf("wan=%d wam=%d
    ",n,m);while(1);}
    		//printf("real=%d
    ",(realans+1)/2);
    	}
    	return 0;
    }
    

      

    F. Fibonacci of Fibonacci

    打表可以发现循环节为$26880696$,然后直接用矩阵快速幂计算答案即可。

    #include<cstdio>
    #define rep(i) for(int i=0;i<2;i++)
    int T,n,P;
    struct mat{
      int v[2][2];
      mat(){rep(i)rep(j)v[i][j]=0;}
      mat operator*(const mat&b){
        mat c;
        rep(i)rep(j)rep(k)c.v[i][j]=(1LL*v[i][k]*b.v[k][j]+c.v[i][j])%P;
        return c;
      }
    }G,B;
    int fib(int n,int p){
      P=p;
      G=B=mat();
      G.v[0][1]=G.v[1][0]=G.v[1][1]=B.v[1][0]=1;
      for(;n;n>>=1,G=G*G)if(n&1)B=G*B;
      return B.v[0][0];
    }
    int main(){
      scanf("%d",&T);
      while(T--)scanf("%d",&n),printf("%d
    ",fib(fib(n,26880696),20160519));
      return 0;
    }
    

      

    G. Global Warming

    留坑。

    H. Hash Collision

    设$f[i][j]$表示长度为$i$的串中Hash值为$j$的方案数,那么$ans=sum_{i=0}^{m-1}C(f[n][i],2)$。

    从$f[i][]$转移到$f[i+1][]$的复杂度为$O(26)$,而从$f[i][]$转移到$f[2i][]$可以用FFT做到$O(mlog m)$,因此倍增计算$f[n][]$即可。

    时间复杂度$O(mlog mlog n)$。

    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    const int N=65555,P=1000003,M=1000;
    int n,i,j,k,pos[N],f[N],g[N],seed,m,ans;
    int A[N],B[N],C[N];
    namespace FFT{
    struct comp{
    	double r,i;comp( double _r=0, double _i=0){r=_r,i=_i;}
    	comp operator+(const comp&x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
    	comp operator-(const comp&x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
    	comp operator*(const comp&x){return comp(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
    	comp conj(){return comp(r,-i);}
    }A[N],B[N];
    int a0[N],b0[N],a1[N],b1[N];
    const double pi=acos(-1.0);
    void FFT(comp*a,int n,int t){
    	for(int i=1;i<n;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
    	for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
    		int m=1<<d,m2=m<<1;
    		double o=pi*2/m2*t;comp _w(cos(o),sin(o));
    		for(int i=0;i<n;i+=m2){
    			comp w(1,0);
    			for(int j=0;j<m;j++){
    				comp&A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
    				A=B-t;B=B+t;w=w*_w;
    			}
    		}
    	}
    	if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
    }
    void mul(int*a,int*b,int*c){
    	int i,j;
    	for(i=0;i<k;i++)A[i]=comp(a[i],b[i]);
    	FFT(A,k,1);
    	for(i=0;i<k;i++){
    		j=(k-i)&(k-1);
    		B[i]=(A[i]*A[i]-(A[j]*A[j]).conj())*comp(0,-0.25);
    	}
    	FFT(B,k,-1);
    	for(i=0;i<k;i++)c[i]=((long long)(B[i].r+0.5))%P;
    }
    void mulmod(int*a,int*b,int*c){
    	int i;
    	for(i=0;i<k;i++)a0[i]=a[i]/M,b0[i]=b[i]/M;
    	for(mul(a0,b0,a0),i=0;i<k;i++){
    		c[i]=1LL*a0[i]*M*M%P;
    		a1[i]=a[i]%M,b1[i]=b[i]%M;
    	}
    	for(mul(a1,b1,a1),i=0;i<k;i++){
    		c[i]=(a1[i]+c[i])%P,a0[i]=(a0[i]+a1[i])%P;
    		a1[i]=a[i]/M+a[i]%M,b1[i]=b[i]/M+b[i]%M;
    	}
    	for(mul(a1,b1,a1),i=0;i<k;i++)c[i]=(1LL*M*(a1[i]-a0[i]+P)+c[i])%P;
    }
    }
    int cnt,q[55];
    int main(){
    	scanf("%d%d%d",&n,&m,&seed);
    	for(k=1;k<m;k<<=1);k<<=1;
    	j=__builtin_ctz(k)-1;
    	for(i=0;i<k;i++)pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);
    	int len=1;
    	//for(i=0;i<m;i++)printf("%d ",f[i]);puts("");
    	while(n)q[++cnt]=n&1,n>>=1;
    	for(j='A';j<='Z';j++)f[j%m]++;
    	for(int o=cnt-1;o;o--){
    		for(i=0;i<k;i++)A[i]=B[i]=0;
    		int mul=1;
    		for(i=0;i<len;i++)mul=1LL*mul*seed%m;
    		for(i=0;i<m;i++){
    			A[1LL*i*mul%m]=(A[1LL*i*mul%m]+f[i])%P;
    			B[i]=f[i];
    		}
    		len<<=1;
    		FFT::mulmod(A,B,C);
    		for(i=0;i<m;i++)f[i]=0;
    		for(i=0;i<k;i++)f[i%m]=(f[i%m]+C[i])%P;
    		if(q[o]){
    			for(i=0;i<m;i++)g[i]=0;
    			for(i=0;i<m;i++)if(f[i])for(j='A';j<='Z';j++)g[(1LL*i*seed+j)%m]=(g[(1LL*i*seed+j)%m]+f[i])%P;
    			for(i=0;i<m;i++)f[i]=g[i];
    			len++;
    		}
    	}
    	for(i=0;i<m;i++)ans=(1LL*f[i]*(f[i]-1+P)+ans)%P;
    	ans=1LL*ans*((P+1)/2)%P;
    	printf("%d",ans);
    	return 0;
    }
    

      

    I. Increasing or Decreasing

    经典数位DP。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std ;
    
    typedef long long LL ;
    typedef pair < int , int > pi ;
    
    #define clr(a,x) memset ( a , x , sizeof a ) 
    typedef long long Int ;
    int dp[20][3][10][2];
    int num[22];
    int dfs(int cur,int dd,int bef,int qd){
    	if(cur<0)return 1;
    	int &t=dp[cur][dd][bef][qd];
    	if(t>=0)return t;
    	t=0;
    	for(int i=0;i<10;i++){
    		if((dd==1)&&(i>bef)&&qd)continue;
    		if((dd==2)&&(i<bef)&&qd)continue;
    		int ndd;
    		int nqd=qd||(i>0);
    		if(qd==0)ndd=0;
    		else{
    			if(i<bef)ndd=1;
    			else if(i>bef)ndd=2;
    			else ndd=dd;
    		}
    		t+=dfs(cur-1,ndd,i,nqd);
    	}
    	return t;
    }
    int deal(LL x){
    	if(!x)return 1;
    	int tot=0;
    	while(x){num[tot++]=x%10,x/=10;}
    	reverse(num,num+tot);
    	int dd=0;
    	int ret=0;
    	for(int i=0;i<tot;i++){
    		int curdd;
    		for(int j=0;j<10;j++){
    			if(num[i]<=j)continue;
    			if(i==0)curdd=0;
    			else{
    				if(j>num[i-1])curdd=2;
    				else if(j==num[i-1])curdd=0;
    				else curdd=1;
    			}
    			if(dd&&curdd&&(dd!=curdd))continue;
    			int nqd=((i==0)&&(j==0))?0:1;
    			ret+=dfs(tot-i-2,max(dd,curdd),j,nqd);
    			//if(!i)printf("val=%d
    ",tot-i-2);
    		}
    		if(i==0)curdd=0;
    		else{
    			if(num[i]>num[i-1])curdd=2;
    			else if(num[i]==num[i-1])curdd=0;
    			else curdd=1;
    		}
    		//printf("%d %d ret=%d
    ",i,num[i],ret);
    		if(dd&&curdd&&(dd!=curdd)){dd=-1;break;}
    		//printf("dd=%d curdd=%d
    ",dd,curdd);
    		dd=max(dd,curdd);
    	}
    	if(dd>=0)ret++;
    	return ret;
    }
    int main(){
    	memset(dp,-1,sizeof dp);
    	int _;scanf("%d",&_);
    	while(_--){
    		LL l,r;
    		scanf("%lld%lld",&l,&r);
    		int ans=deal(r);
    		ans-=deal(l-1);
    		printf("%d
    ",ans);
    	}
    	return 0;
    }
    

      

    J. Just Convolution

    因为数据随机,所以可以取出$A$中最大$200$项和$B$中所有项暴力更新答案,然后再取出$B$中最大$200$项和$A$中所有项暴力更新答案,最后再取出$A$中和$B$中最大的$3000$项更新答案即可。

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std ;
    
    const int MAXN = 200005 ;
    
    struct Node {
    	int x , i ;
    	bool operator < ( const Node& a ) const {
    		return x > a.x ;
    	}
    } ;
    
    Node a[MAXN] , b[MAXN] ;
    int c[MAXN] ;
    int n ;
    
    void solve () {
    	for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
    		scanf ( "%d" , &a[i].x ) ;
    		a[i].i = i ;
    	}
    	for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
    		scanf ( "%d" , &b[i].x ) ;
    		b[i].i = i ;
    	}
    	for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
    		c[i] = 0 ;
    	}
    	sort ( a , a + n ) ;
    	sort ( b , b + n ) ;
    	int k = min ( n , 3000 ) ;
    	for ( int i = 0 ; i < k ; ++ i ) {
    		for ( int j = 0 ; j < k ; ++ j ) {
    			int t = ( a[i].i + b[j].i ) % n ;
    			c[t] = max ( c[t] , a[i].x + b[j].x ) ;
    		}
    	}
    	int m = min ( n , 200 ) ;
    	for ( int i = k ; i < n ; ++ i ) {
    		for ( int j = 0 ; j < m ; ++ j ) {
    			int t1 = ( a[i].i + b[j].i ) % n ;
    			int t2 = ( b[i].i + a[j].i ) % n ;
    			c[t1] = max ( c[t1] , a[i].x + b[j].x ) ;
    			c[t2] = max ( c[t2] , b[i].x + a[j].x ) ;
    		}
    	}
    	for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) {
    		i && putchar ( ' ' ) ;
    		printf ( "%d" , c[i] ) ;
    	}
    	puts ( "" ) ;
    }
    
    int main () {
    	while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) solve () ;
    	return 0 ;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/clrs97/p/5933306.html
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