格雷码证明
x为原来的数，y为格雷码，两者都用二进制表示
y=x xor (x shr 1)
可认为y(k)=x(k) xor x(k+1)，其中y(k)为y的从低到高第k位，x(k)为x的从低到高第k位。设二进制位数为n，注意x(n+1)=0。
1.所有二进制对应的格雷码都不相同
x->y y(k)=x(k) xor x(k+1)
p->q q(k)=p(k) xor p(k+1)
若y=q,则：y(n)=q(n)，求得x(n)=y(n)；y(n-1)=q(n-1)，求得x(n-1)=y(n-1)；依次类推，x(1)=y(1)，所以x=p。得证。
2.二进制下相邻的两个数对应的格雷码有且只有一位不相同，其它位都相同
二进制下相邻的两个数为x和s，其中x=s+1。而y=x xor (x shr 1), t=s xor (s shr 1)，
要证明y和t有且只有一位不相同，其它位都相同
I．x的最后一位为1
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x |
a[n] |
a[n-1] |
…… |
a[1] |
1 |
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x shr 1 |
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a[n] |
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a[2] |
a[1] |
|
y |
|
|
|
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Diff |
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s |
a[n] |
a[n-1] |
…… |
a[1] |
0 |
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s shr 1 |
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a[n] |
…… |
a[2] |
a[1] |
|
t |
|
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Diff |
II．x的最后一位为0
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x |
a[n] |
a[n-1] |
…… |
a[k+1] |
1 |
0 |
0 |
…… |
0 |
0 |
|
x shr 1 |
|
a[n] |
…… |
a[k+2] |
a[k+1] |
1 |
0 |
…… |
0 |
0 |
|
y |
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Diff |
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s |
a[n] |
a[n-1] |
…… |
a[k+1] |
0 |
1 |
1 |
…… |
1 |
1 |
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s shr 1 |
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a[n] |
…… |
a[k+2] |
a[k+1] |
0 |
1 |
…… |
1 |
1 |
|
t |
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Diff |
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所以得证。
3.
二进制->格雷码：y(i)=x(i) xor x(i+1) [x(n+1)=0] (规定)
格雷码->二进制：x(i)=x(i+1) xor y(i)
证明 格雷码->二进制：x(i)=x(i+1) xor y(i) 的正确性：
x(i)=x(i+1) xor y(i)=x(i+1) xor x(i) xor x(i+1)=x(i)
得证。