欧拉法求解微分方程

by Conmajia
2014

原文是我在2014年写的，用C# 完成，这里改成JavaScript了，特基础。当然最方便的还是用数学库，或者Matlab、Mathematics这些数学软件（如果你只求值的话），或者可以换成C、Java、Go、Erlang任何其他的语言实现。欧拉（Euler）和中心差分逼近，是最朴素的想法，可惜代数精度太低了，而龙格库塔的稳定性又是个问题。总之只能用来计算普通的东西，高大上问题一般还是使用广义 $alpha$，Wilson-$Theta$ 之类的，利用系数调节人工阻尼，让低频的部分少受算法影响，高频阻尼增大，增加微分方程的稳定性，又不影响算法的精度。

Math.NET计划是用于.NET的数学运算库，包括了数值计算库Iridium.NET。这是非常古老的的库，最近一次更新已经是10年前了。但是，数学的东西永远不会过时，所以仔细研究一下，还是可以吃到很多干货的。

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$ git clone git://github.com/mathnet/mathnet-iridium.git

工程中有时候需要解微分方程，比如这种：

[y'=y-cfrac{2x}{y} ]

(y(0)=1). 两边积分，得到：

[egin{align*} int_{x_n}^{x_{n+1}}y'mathrm{d} x&=int_{x_n}^{x_{n+1}}left(y-cfrac{2x}{y} ight)mathrm{d} x \ y_{n+1}-y_n&=int_{x_n}^{x_{n+1}}left(y-cfrac{2x}{y} ight)mathrm{d}x \ y&=sqrt{1+2x} end{align*} ]

工程上只想要数值解，一般采用差分近似代替微分. 最简单最朴素的办法是用欧拉公式：

[ ag{1} y_{n+1}=y_n+Delta x f(x_n,y_n)quad n=0,1,2,cdots ]

推导很简单，对(x_n)，有：

[y'_n=f(x_n,y_n). ]

对(y'(x_n))有：

[ ag{2} y'_napprox cfrac{y_{n+1}-y_n}{Delta x}. ]

式(2)左边叫微商（不是喜提迪丽热巴的那个微商），右侧叫差商（不是淘宝伪劣产品卖家），(Delta x=left|x_{n+1}-x_n ight|).

代回式(2)，有：

[egin{align*} y'_n=f(x_n,y_n) Rightarrowcfrac{y_{n+1}-y_n}{Delta x} &approx f(x_n,y_n) \ y_{n+1}-y_n &approx Delta x f(x_n,y_n) \ y_{n+1} &approx y(x_n)+Delta x f(x_n,y_n). end{align*} ]

式(1)的欧拉公式成了：

[ ag{3} y_{n+1}=y_n+Delta xleft(y_n-cfrac{2x_n}{y_n} ight). ]

假设用myFn函数表示余项(y_n-dfrac{2x_n}{y_n})：

function myFn(x, y) {
  return y - 2 * x / y;
}

Euler可以这样实现：

function calculate(x0, y0, delta, xn) {
  var yn;
  while(x0 < xn) {
    yn = y0 + delta * myFn(x0, y0);
    y0 = yn;
    x0 = x0 + delta;
  }
  return yn;
}

现在可以开始试验了。

理论上：

[y=sqrt{1+2x}Rightarrow y(1)=sqrt{3}approx 1.7321 ]

(sqrt{3})是方程的真值，程序的目标是通过计算，得到尽量接近真值的结果.

取(x_0=0)，(y_0=1)，(Delta x=0.1)，程序计算结果为：

ans = 1.784771

误差3.04%. 减小(Delta x)，比如(Delta x=0.0001)，计算结果为：

ans = 1.732112

误差0.0007%，十分接近真值了.

虽然这个方法可以求到比较精确的解，但是(Delta x)太小的话，while会执行很多次，效率低下.

引入定积分的梯形公式：

[int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y)mathrm{d}xapproxcfrac{Delta x}{2}left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}) ight] ]

式(3)可以写成：

[ ag{4} y_{n+1}approx y_n+cfrac{Delta x}{2}left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1}) ight]. ]

式(3)和式(4)的特点是，前者速度快，精度低；后者速度慢，精度高. 所以对于粗算，可以使用：

[y'_{n+1}=y_n+Delta x f(x_n,y_n) ]

精算，可以用：

[y_{n+1}=y_n+cfrac{Delta x}{2}left[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y'_{n+1}) ight]. ]

结合起来，先通过粗算得到(y'_{n+1})的近似值，再进行精算，得到高精度的最终解. 这样的话，既保证了计算结果的准确度，又没有消耗太多的计算资源，保证了计算效率. 下面是改进后的计算程序：

function calculate(x0, y0, delta, xn) {
  var yp, yc;
  while(x0 < xn) {
    yp = y0 + delta * myFn(x0, y0);
    yc = y0 + delta * myFn(x0 + delta, yp);
    y0 = 1 / 2 * (yp + yc);
    x0 = x0 + delta;
  }
  return y0;
}

取(x_0=0)，(y_0=1)，(Delta x=0.1)，计算结果为：

ans = 1.737867

误差0.33%.

和最早版本（误差3.04%）相比，在 (Delta x) 相同——意味着循环次数相近——的情况下，精度提高接近10倍.

具体问题具体分析，手工求微分方程基本是这么个思路. 当然，对于《数值分析》和《工程数学》这些课程来说，我上面写的东西不过是小儿科了. 更多的时候，做个伸手党其实很不错的，大把的现成玩意儿可以用，我干嘛还要费那劲呢？

The End. (Box)