动态规划---爬楼梯和硬币组合问题

爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

输入： 3  
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

不难发现，对于要抵达的第n阶台阶，有两种方式可以抵达。

1. 在第 (i−1) 阶后向上爬 1 阶。
2. 在第 (i-2) 阶后向上爬 2 阶。
   得出状态转移方程为

dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

因此可以得出代码如下：

func climbStairs(n int) int {
	if n <= 1 {
		return n
	}
	dp := make([]int, n+1)
	dp[1] = 1
	dp[2] = 2
	for i := 3; i <= n; i++ {
		dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
	}
	return dp[n]
}

拓展：如果每次我可以爬 1 或 3 或 5 个台阶，这时候有多少种方式可以抵达呢？
原理和每次迈1或2步的时候是一样的，我们就在内部循环可以迈的台阶，进行计算有多少种抵达方式。代码如下:

func climbStairs(n int) int {
	if n <= 1 {
		return n
	}
	dp := make([]int, n+1)
	step := []int{1, 3, 5}
	dp[0] = 1
	for i := 1; i <= n; i++ {
		for j := 0; j < len(step); j++ {
			if i >= step[j] {
				dp[i] += dp[i-step[j]]
			}
		}
	}
	return dp[n]
}

硬币组合问题

给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。

 输入: n = 10
 输出：4
 解释: 有四种方式可以凑成总金额:
 10=10
 10=5+5
 10=5+1+1+1+1+1
 10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

仔细思考一下，硬币组合问题和爬楼梯问题其实是极其相似的。比如对于给定n = 6的情况下，我们可以从两种情况抵达：

1. 从 n = 5 的情况下加一个1分硬币
2. 在 n = 1 的情况下加一个5分硬币

乍一看，代码完全应该和上面是一样的嘛！但是如果直接使用上面的代码去计算，会发现最后得出的结果比预料的要多。可以尝试下运行爬楼梯拓展中的代码，计算n=6的情况。为什么？

还是以 n = 6 的情况进行举例
在爬楼梯问题中，先上1步再上5步([1,5]) 和 先上5步再上1步([5,1]) 是2个不同的情况。
在硬币组合问题中，[1,5] 和 [5,1]属于同一个解决方案，都只是使用了一个1分硬币一个5分硬币。
即硬币组合问题中，硬币的排列顺序不会产生不同的解决方案。

那么如何避免硬币的顺序对结果造成的影响呢？答案就是：调换遍历顺序，先遍历硬币，保证在考虑一种硬币的时候没有其它大面额硬币的影响，保证解决方案中始终是小硬币在前大硬币在后。避免重复计算问题，同样在n=6的情况下，解决方案计算只有[1,1,1,1,1,1]和[1,5] 两种。
代码：

func waysToChange(n int) int {
	if n <= 1 {
		return n
	}
	dp := make([]int, n+1)
	coin := []int{1, 5, 10}
	dp[0] = 1
	for i := 0; i < len(coin); i++ {
		for j := 1; j <= n; j++ {
			if j >= coin[i] {
				dp[j] += dp[j-coin[i]]
			}
		}
	}
	return dp[n]
}