容斥

Co-prime 

Problem's Link:  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4135

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推荐: 容斥原理

Mean: 

给你一个区间[l,r]和一个数n，求[l,r]中有多少个数与n互素。

analyse:

经典的容斥原理题。

如果题目是说求1~n中有多少个数与n互质，我们一定反应应该是欧拉函数。

但是如果n特别大或者说是求某个给定区间与n互素的个数，这时用欧拉函数就行不通。

容斥做法：首先我们可以在O(sqrt(n))内求出n的所有质因数p1,p2,p3....pk。

对于每个质因数pi，1~r中不与它互素的个数就是r/pi。

然后就是如何容斥了？

首先我们来分析，n<=1e9，那么n的质因数的个数最多不超过9个，那么我们就可以对n的所有质因数进行组合来计算。

例如：30的质因数有3个(2,3,5),我们可以用二进制来表示所有的情况：

001： 5

010： 3

011： 3 5

100： 2

101： 2 5

110： 2 3

111： 2 3 5

假设有k个质因数，那么只需用2^k-1个数的二进制来表示即可。

剩下的就是容斥了，设cnt为1的个数(选中的质因数的个数)，当cnt为奇数，sum加上此次的;cnt为偶数，sum减去此次的。

具体看代码。

Time complexity: O(N)

 

Source code: 

/*
* this code is made by crazyacking
* Verdict: Accepted
* Submission Date: 2015-08-10-19.49
* Time: 0MS
* Memory: 137KB
*/
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define  LL long long
#define  ULL unsigned long long
using namespace std;

LL solve(LL r,LL n)
{
     vector<LL> ve;
     LL up=(LL)sqrt(n);
     for(LL i=2;i<=up;++i)
     {
           if(n%i==0)
           {
                 ve.push_back(i);
                 while(n%i==0)
                       n/=i;
           }
     }
     if(n>1) ve.push_back(n);
     LL sum=0,si=ve.size();
     up=(1<<si)-1;
     for(LL i=1;i<=up;++i)
     {
           LL tmp=i,bits=0,mul=1,cnt=0;
           while(tmp)
           {
                 if(tmp&1)
                 {
                       mul*=ve[bits];
                       ++cnt;
                 }
                 ++bits;
                 tmp=tmp>>1;
           }
           LL cur=r/mul;
           if(cnt&1) sum+=cur;
           else sum-=cur;
     }
     return sum;
}

int main()
{
     ios_base::sync_with_stdio(false);
     cin.tie(0);
     LL t,cas=1;
     cin>>t;
     while(t--)
     {
           LL l,r,n;
           cin>>l>>r>>n;
           if(l>r) swap(l,r);
           printf("Case #%lld: %lld ",cas++,r-l+1-(solve(r,n)-solve(l-1,n)));
     }
     return 0;
}
/*

*/