并查集

原文地址：http://www.ahathinking.com/archives/10.html

昨天和今天学习了并查集和trie树，并练习了三道入门题目，理解更为深刻，觉得有必要总结一下，这其中的内容定义之类的是取自网络，操作的说明解释及程序的注释部分为个人理解。

    并查集学习：

• 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

• 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

• 并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩
寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？
答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

• 主要代码实现

 1int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点*/
 2int rank[MAX];     /* rank[x]表示x的秩*/
 3
 4
 5/* 初始化集合*/
 6void Make_Set(int x)
 7{
 8    father[x] = x; //根据实际情况指定的父节点可变化
 9    rank[x] = 0;   //根据实际情况初始化秩也有所变化
10}
11
12
13/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径*/
14int Find_Set(int x)
15{
16    if (x != father[x])
17    {
18        father[x] = Find_Set(father[x]); //这个回溯时的压缩路径是精华
19    }
20    return father[x];
21}
22
23
24/* 
25   按秩合并x,y所在的集合
26   下面的那个if else结构不是绝对的，具体根据情况变化
27   但是，宗旨是不变的即，按秩合并，实时更新秩。
28*/
29void Union(int x, int y)
30{
31    x = Find_Set(x);
32    y = Find_Set(y);
33    if (x == y) return;
34    if (rank[x] > rank[y]) 
35    {
36        father[y] = x;
37    }
38    else
39    {
40        if (rank[x] == rank[y])
41        {
42            rank[y]++;
43        }
44        father[x] = y;
45    }
46}
47

注：学习并查集时非常感谢Slyar提供的资料，这里注明链接：http://www.slyar.com/blog/；另，本文于2009年记录于博客园：http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/
另外，我认为写并查集时涉及到的路径压缩，最好用递归，一方面代码的可读性非常好，另一方面，可以更直观的理解路径压缩时在回溯时完成的巧妙。