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  • hall定理的证明

    原文链接:https://blog.csdn.net/WerKeyTom_FTD/java/article/details/65658944
    hall定理就是关于判定二分图是否存在完美匹配的东西啦。
    那我们来一些基本定义吧。

    基本定义
    也没啥好定义的。。
    学过网络流应该都懂本文要提到的东西。
    完美匹配是指最大匹配数为min(|X|,|Y|)
    也就是X或Y集合其中一个集合所有点都被匹配了。

    定理内容
    我们来假设X集合点少一点好了。X集合就当做有n个点。
    那么二分图G存在完美匹配,则取任意正整数1<=k<=n,均满足我从X集合选出k个不同的点,那么它们连向的y集合的点个数不小于k。

    必要性证明
    假如一个二分图G存在完美匹配,且不满足Hall定理。
    那么对于某k个点,它们连向的都不足k个点。
    那么它们是怎么都被匹配上的???
    很显然必要性正确。

    充分性证明
    假如一个二分图G不存在完美匹配,且满足Hall定理。
    那么假如有一种最大匹配的方案,既然不存在完美匹配,可以找到至少一个未被匹配的点A。
    因为这个二分图满足Hall定理,所以这个点一定连向了至少一个点B(有可能存在多个点)。
    假如这个点B不在最大匹配中,它们就匹配了,怎么可能呢???
    那么这个点B在最大匹配中!所以左边一定有一个点C和它匹配了。
    C做为一个匹配点可能在右边找到D,就这样一直找下去,由于左部点数是<=右部点数
    于是最终点落在右部点结束,找到一个增广路。
    于是出现矛盾。

    C也可能在右边找到别的匹配点了,因为C就只与B匹配,形如下图:

    此时我们可以删除B,C这两个点,并不影响问题的求解,让A去找到D,再如上述的证明即可。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cutemush/p/12740002.html
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