贪心法之prim算法和Kruskal算法

最小生成树

    性质：n个节点生成的最小生成树有n-1条边 & 最小生成树里多加一条边能生成含该边的一个环

    构造方法：Prim算法 & Kruskal算法

一、Prim算法：逐个点连通的方式构造最小生成树（时间复杂度O(n*n)，适合稠密图）

    稀疏图&稠密图：有很少条边或弧（边的条数|E|远小于|V|²）的图称为稀疏图（sparse graph），反之边的条数|E|接近|V|²，称为稠密图（dense graph）。

设计思想：

    Prim算法是从一个点开始，在给的无向图中寻找这个点所连接的权值最小的边，并在树中连接这条边，再寻找树中节点在无向图连接的权值最小的边，找到之后要判断这条边是否会构成一个环，最小生成树中是不能出现环的。

伪代码如下：

    下图的例子：①从点1开始，权值最小的边是（1,3），权值为1，连接；②点1和点3在原始无向图中权值最小的边是（3,6），权值为4，连接；③从点1、点3和点6中权值最小的边是（6,4），权值为2连接；④在点1、3、6、4中权值最小的边是（4,1）和（3,2），权值都为5，但是（4,1）连接后会构成环，所以不能连接（4,1）；⑤再找点1、3、6、4、2中权值最小的边，连接（2,5），完成最小生成树的构造。

prim算法正确性证明：

 

 

 

  

 

代码实现如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
 
int n,m;
int map[101][101];
 
void prim()  //最小生成树 prim算法
{
    cout<<"prim:"<<endl;
    int lowcost[101];  //lowcost[i]存树中点到i点的边的权值最小为多少 => 为多少？
    int closest[101];  //closest[i]存放树中哪个点到i点的边的权值最小 => 是哪个？
    bool s[101];
    s[1] = true;  //选择1为树顶
    int i,j,k;
    for(i=2;i<=n;i++)  //初始化lowcost和s
    {
        lowcost[i] = map[1][i];
        s[i] = false;
        closest[i] = 1;
    }
    int min;
    for(i=1;i<n;i++)  //最小生成树只有n-1条边
    {
        min = 100000;
        k = 1;
        for(j=2;j<=n;j++)  //找最小边
        {
            if((lowcost[j]<min)&&(!s[j]))
            {
                min = lowcost[j];
                k = j;
            }
        }
        cout<<closest[k]<<","<<k<<":"<<min<<endl;
        s[k] = true;
        for(j=2;j<=n;j++)
        {
            if((map[k][j]<lowcost[j])&&(!s[j]))  //如果新的结点到j的边比原来的结点到j的边小，就用新结点替换掉原结点
            {
                lowcost[j] = map[k][j];
                closest[j] = k;
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,a,b,tem;
    memset(map,0x3f,sizeof(map));  //memset要用0x3f
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b;
        cin>>tem;
        map[a][b] = tem;
        map[b][a] = tem;
    }
    prim();
    return 0;
}

运行结果：

二、Kruskal算法：按权值递增的顺序选择合适的边构造最小生成树（时间复杂度O(eloge)，适合稀疏图）

    PS：有很少条边或弧（边的条数|E|远小于|V|²）的图称为稀疏图（sparse graph），反之边的条数|E|接近|V|²，称为稠密图（dense graph）。

设计思想如下：

 伪代码如下：

    先找出权值最小的边，将两个点连接，再找权值第二小的边，判断连接这两个点是否会形成环，如果不会就连接，如果会就不连接。

    下图的例子：①权值最小边（1,3）连接；②剩下的权值最小边（4,6），判断不会形成环，连接；③剩下的权值最小边（2,5），判断不会形成环，连接；④剩下的权值最小边（3,6），判断不会形成环，连接；⑤剩下的权值最小边只有（3,2）不会形成环，连接。

Kruskal算法正确性证明：

 先介绍下短接操作：

 

 

 

 

代码实现：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
 
int pre[101];
int u[101],v[101],edge[101];  //u,v分别为两个点，edge为两个点之间的边
int m,n;
int find(int x)
{
    int root = x;
    while(pre[root]!=root)
        root = pre[root];
    //路径压缩
    int i,j;
    i = x;
    while(pre[i]!=root)
    {
        j = i;
        i = pre[i];
        pre[j] = root;
    }
    return root;
}
 
void kruskal()  //最小生成树，Kruskal算法
{
    cout<<"Kruskal:"<<endl;
    int i,total,min,minnum,fu,fv;
    total = n-1;
    while(total>0)
    {
        min = 10000000;
        for(i=1;i<=m;i++)  //找最小值
        {
            if(u[i] == -1||v[i] == -1)
                continue;
            if(edge[i]<min)
            {
                min = edge[i];
                minnum = i;
            }
        }
        fu = find(u[minnum]);
        fv = find(v[minnum]);
        if(fu!=fv)  //不连通,就连接两个点
        {
            cout<<u[minnum]<<","<<v[minnum]<<":"<<edge[minnum]<<endl;
            pre[fu] = fv;
            total--;
        }
        edge[minnum] = 100000000;  //改变已经找到的最小值
        u[minnum] = -1;
        v[minnum] = -1;
    }
}
 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,a,b,tem;
    for(i=1;i<=n;i++)
        pre[i] = i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a>>b;
        cin>>tem;
        u[i] = a;
        v[i] = b;
        edge[i] = tem;
    }
    kruskal();
    return 0;
}

运行结果：

 Kruskal算法所需的计算时间为O（eloge）

参考：北大《算法设计与分析》公开课

           王晓东《算法设计与分析》第二版

           https://blog.csdn.net/crystal_viv/article/details/79571545