「SDOI2019」世界地图（并查集+kruscal）

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loj3112

luogu P5360

bzoj5531

Solution

对于 \(1\leq i\leq m\)，考虑分别预处理经度在 \([1,i]\)，\([i,m]\) 的点的 \(\text{MST}\)。询问的时候合并 \([1,l-1]\) 和 \([r+1,m]\) 即可。

先考虑怎么预处理 \([1,i]\) 的 \(\text{MST}\)（\([i,m]\) 同理）。

假设我们已经有了 \([1,i-1]\) 的 \(\text{MST}\)，现在要在这里加上经度为 \(i\) 的点和一些边。

考虑加入一条边 \((u,v,w)\) 会发生什么：

\(1.\) \(u,v\) 不连通，连接 \(u,v\)。
\(2.\) \(u,v\) 已经连通，且路径 \(u→v\) 的边的最大值 \(\leq w\)，什么也不会发生。
\(3.\) \(u,v\) 已经连通，且路径 \(u→v\) 的边的最大值 \(> w\)，断开这条最大边，连接 \(u,v\)。

也就是说，\([1,i-1]\) 的 \(\text{MST}\) 中可能会有一些边被删掉。我们把 \(\text{MST}\) 中第一列和最后一列的点称为关键点，那么被删掉的边 \(l\) 必定满足：存在关键点 \(x,y\) 使得 \(l\) 是路径 \(x→y\) 上的权值最大边。

换句话说，把端点的经度在 \([1,i-1]\) 的边全部拿出来跑 \(\text{kruscal}\)。边 \(l\) 会连接两个连通块，如果这两个连通块里面都有关键点，那么 \(l\) 可能被删掉，否则 \(l\) 不可能被删掉。

因此记录边集 \(pre_i\) 表示经度在 \([1,i]\) 的点的 \(\text{MST}\) 中，之后可能被删的边。

\([1,i-1]\) 的 \(\text{MST}\) 中，不在 \(pre_{i-1}\) 的边（之后肯定不会被删的边）肯定都在 \([1,i]\) 的 \(\text{MST}\) 中。 假设 \(pre_{i-1}\) 中的边的端点都是关键点，那么我们只要把 \(pre_{i-1}\) 和新加入的 \(2n-1\) 条边一起拿出来跑 \(\text{kruscal}\)，所得结果加上肯定不会被删的边，就是 \([1,i]\) 的 \(\text{MST}\)。

可是 \(pre_{i-1}\) 的边的端点不一定都是关键点，怎么办呢？

考虑 \(\text{kruscal}\) 的过程：

int fu = find(u), fv = find(v);
if (fu != fv) 在 MST 中加入边 (u, v, w);

其实和这样是等价的：

int fu = find(u), fv = find(v);
if (fu != fv) 在 MST 中加入边 (fu, fv, w);

假设 \(pre_{i-1}\) 中的边都是关键点，那么可以考虑这样求出 \(pre_i\)：

inline void solve(vector<edge> &a, vector<edge> &b, ll &del)
{
    int len = a.size(), i;
    sort(a.begin(), a.end(), cmp);
    b.clear(); del = 0;
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        int x = a[i].x, y = a[i].y, v = a[i].v, fx = find(x), fy = find(y);
        if (fx == fy) del += v;
        else
        {
            if (bo[fx] && bo[fy]) link(fx, fy), b.push_back((edge){fx, fy, v}); 
            // 保证 b 中的边都是关键点
            else if (bo[fx]) link(fx, fy);
            else link(fy, fx);
        }
    }
}

其中 \(a\) 是 \(pre_{i-1}\) 加上新的 \(2n-1\) 条边，\(bo_x=1\) 表示 \(x\) 是关键点，\(b\) 是 \(pre_i\)。

这样我们就得到了 \(pre_i\)，\(suf_i\) 同理。

对于询问 \((l,r)\)，只要把 \(pre_{l-1}\) 和 \(suf_{r+1}\) 合并即可，方法跟已知 \(pre_{i-1}\) 求 \(pre_i\) 差不多。

时间复杂度 \(O(nm\log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
    char ch;
    while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
    res = ch ^ 48;
    while (ch = getchar(), isdigit(ch))
    res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

template <class t>
inline void print(t x)
{
    if (x > 9) print(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}

const int N = 105, M = 10005, T = N * M;
struct edge
{
    int x, y, v;
};
vector<edge> pre[M], suf[M];
int n, rht[N][M], dwn[N][M], m, f[T], lim, q;
bool bo[T];
unsigned int SA, SB, SC; 
ll pres[M], sufs[M], ans; 
// pres[i] 表示 [1,i] 的 MST 的边权之和，sufs[i] 同理

inline int getweight() 
{
    SA ^= SA << 16;
    SA ^= SA >> 5;
    SA ^= SA << 1;
    unsigned int t = SA;
    SA = SB;
    SB = SC;
    SC ^= t ^ SA;
    return SC % lim + 1;
}

inline void gen() 
{
    read(n); read(m); read(SA); read(SB); read(SC); read(lim);
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= m; j++) 
            rht[i][j] = getweight();
    for (i = 1; i < n; i++)
        for (j = 1; j <= m; j++) 
            dwn[i][j] = getweight();
}

inline int id(int x, int y)
{
    return (x - 1) * m + y;
}

inline int find(int x)
{
    return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}

inline bool cmp(const edge &a, const edge &b)
{
    return a.v < b.v;
}

inline void link(int x, int y)
{
    f[y] = x;
}

inline void upt(int x, bool y)
{
    f[x] = x;
    bo[x] = y;
}

inline void solve(vector<edge> &a, vector<edge> &b, ll &del)
{
    int len = a.size(), i;
    sort(a.begin(), a.end(), cmp);
    b.clear(); del = 0;
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        int x = a[i].x, y = a[i].y, v = a[i].v, fx = find(x), fy = find(y);
        if (fx == fy) del += v;
        else
        {
            if (bo[fx] && bo[fy]) link(fx, fy), b.push_back((edge){fx, fy, v});
            else if (bo[fx]) link(fx, fy);
            else link(fy, fx);
        }
    }
}

inline void init_pre()
{
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n * m; i++) f[i] = i;
    ll del;
    vector<edge> a, b;
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            upt(id(j, i), 1);
            upt(id(j, 1), 1);
            if (i > 2) upt(id(j, i - 1), 0);
        }
        a = pre[i - 1];
        pres[i] = pres[i - 1];
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i != 1)
            {
                a.push_back((edge){id(j, i - 1), id(j, i), rht[j][i - 1]});
                pres[i] += rht[j][i - 1];
            } 
            if (j != n)
            {
                a.push_back((edge){id(j, i), id(j + 1, i), dwn[j][i]});
                pres[i] += dwn[j][i];
            }
        }
        solve(a, b, del);
        pre[i] = b;
        pres[i] -= del;
    }
}

inline void init_suf()
{
    int i, j;
    ll del;
    for (i = 1; i <= n * m; i++) f[i] = i, bo[i] = 0;
    vector<edge> a, b;
    for (i = m; i >= 1; i--)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            upt(id(j, i), 1);
            upt(id(j, m), 1);
            if (i < m - 1) upt(id(j, i + 1), 0);
        }
        a = suf[i + 1];
        sufs[i] = sufs[i + 1];
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i != m)
            {
                a.push_back((edge){id(j, i + 1), id(j, i), rht[j][i]});
                sufs[i] += rht[j][i];
            } 
            if (j != n)
            {
                a.push_back((edge){id(j, i), id(j + 1, i), dwn[j][i]});
                sufs[i] += dwn[j][i];
            }
        }
        solve(a, b, del);
        suf[i] = b;
        sufs[i] -= del;
    }
}

int main()
{
    gen();
    init_pre();
    init_suf();
    int l, r, i;
    read(q);
    for (i = 1; i <= n * m; i++) f[i] = i, bo[i] = 0;
    while (q--)
    {
        read(l); read(r);
        ans = pres[l - 1] + sufs[r + 1];
        vector<edge> a, b;
        for (i = 1; i <= n; i++)
        {
            ans += rht[i][m];
            a.push_back((edge){id(i, m), id(i, 1), rht[i][m]});
            upt(id(i, m), 0);
            upt(id(i, 1), 0);
            upt(id(i, l - 1), 0);
            upt(id(i, r + 1), 0);
        }
        int len = pre[l - 1].size();
        for (i = 0; i < len; i++) a.push_back(pre[l - 1][i]);
        len = suf[r + 1].size();
        for (i = 0; i < len; i++) a.push_back(suf[r + 1][i]);
        ll del = 0;
        solve(a, b, del);
        ans -= del;
        print(ans); putchar('\n');
    }
    return 0;
}