Evanyou Blog 彩带

　　树状数组总结与讲解

　　部分参考自：https://www.cnblogs.com/hsd-/p/6139376.html

　　　　　　　　http://blog.csdn.net/yexiaohhjk/article/details/510775

　　转载请注明出处

树状数组

　　首先大家都知道二叉树，如下图：

　　

　　那么现在变形一下：

　　现在定义每一列的顶端为c数组：

　　c数组代表子树的叶子结点权值和，现在计算来举个栗子：

　　c[1]=a[1]

　　c[2]=a[1]+a[2]

　　c[3]=a[3]

　　c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

　　c[5]=a[5]

　　c[6]=a[5]+a[6]

　　c[7]=a[7]

　　c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

　　那么再把c数组的下标转换为二进制数：

　　1（0001） c[1]=a[1]

　　2（0010） c[2]=a[1]+a[2]

　　3（0011） c[3]=a[3]

　　4（0100） c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

　　5（0101） c[5]=a[5]

　　6（0110） c[6]=a[5]+a[6]

　　7（0111） c[7]=a[7]

　　8（1000） c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

　　观察可以得出：C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

　　那么这里引入lowbit(i)，即取出i的二进制最低位1,也就是lowbit(i)=2^k,k的定义同上，代码也简洁明了：　　

inline int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

　　这里x&(-x)就可以算出lowbit值，因为计算机中采用对应正数的补码来表示负数，例如：6(0110)，那么-6(1010)即1001+1，所以6&(-6)=2,即lowbit(6)。

　　C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

　　C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];  

 

　　

基本操作

　

　　基本操作包括单点修改和区间查询

　　1，单点修改

　　将原数组的某一个元素a[i]加上或减去一个x时，那么需要维护c数组，这里只需要从i开始，然后令i+=lowbit(i)，直到i=n为止，令所扫过的范围内的c数组全部修改即可。很容易证明，a[i]只包含在c[i],c[i+lowbit(i)],c[i+lowbit(i)+lowbit(i+lowbit(i))]...中，所以以上操作可行。

　　举个栗子：

　　当n=8,修改的i=3时

　　因为

　　c[3]=a[3]

　　c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

　　c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

　　因此需要修改c[3],c[4],c[8]，又容易算出3+lowbit(3)=4，4+lowbit(4)=8

　　所以以上算法可行

　　Code：

inline void add(int num,int x)
{
    for(int i=num;i<=n;i+=lowbit(i))
    c[i]+=x;
}

　　初始化的时候也就直接用这个函数就行了　　

　　2,区间查询 

　　求区间[x,y]内所有元素的和,这就要用到c数组了。

　　首先看个栗子:

　　求[3,7]区间内的和，已知:

　　c[2]=a[1]+a[2]

　　c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]

　　c[6]=a[5]+a[6]

　　c[7]=a[7]

　　所以c[4]+c[6]+c[7]-c[2]就是我们所要求的值，又可以知道

　　7-lowbit(7)=6

　　6-lowbit(6)=4

　　4-lowbit(4)=0

　　2-lowbit(2)=0

　　因此这里我们定义一个函数quary(num)，表示从num到1按照lowbit的递减方式所得到的所有c[i]的和，那么所要求的值就可以表示成：

　　quary(7)-quary(3-1)

　　因此，求区间[x,y]的和的方法就是quary(y)-quary(x-1)

　　Code：

inline int quary(int num)
{
    int ret=0;
    for(int i=num;i>=1;i-=lowbit(i))
    ret+=c[i];
    return ret;
}

　　

　　3,其他操作

　　除了单点修改和区间查询，有时树状数组也会用来进行区间修改和单点查询。

　　这时我们在初始化的时候需要将初始值减去上一个值，也就是add(i,a[i]-a[i-1])，根据树状数组的性质可以证明，查询时quary(x)实际上就是a[x]的值。

　　那么将区间[x,y]内的每一个值加上或减去a就可以写成

　　add(x,a);add(y+1,-a);

　　正确性也可以用树状数组的性质证明。

　　除此以外，树状数组还可以用于求逆序对等操作，这里就不一一详细介绍了。

题目

　　HDU 1166 敌兵布阵

　　HDU 1556 color the ball

　　POJ 2299 ultra-quicksort