HDU 6617 Enveloping Convex（凸包+半平面交+二分）

首先对于这m个点维护出一个凸包M，那么问题就变成了判断凸包P进行放大缩小能不能包含凸包M。(凸包P可以进行中心对称变换再进行放大缩小，见题意）

如何判断合适的相似比呢，我们可以用二分去放大缩小凸包P的坐标，得到最小的相似比。

接下来就是如何判断是否包含。我们需要对凸包P上的每一条向量，在凸包M上找到这么一个点，使得这个点左侧的所有凸包M上的点都在向量的左侧，那么我们可以直接同时逆时针枚举，用一个变量维护凸包M上的点，因为是同逆时针，凸包M上的点至少有一个只会被遍历一次，那么复杂度可以证明为On，这样就可以维护出来凸包P上的向量所对应的在凸包M上的点。因为包含关系，满足所有的向量的对应点都应该在向量的左侧，那么我们将这个向量相对于这个点的坐标求出来，然后维护一个半平面交是否有解即可，判断这个半平面交维护出来的是否是一个合法的凸包，当然由于我们是逆时针枚举的向量，需要先对凸包P进行逆时针转动，所以我们没必要将这些相对于坐标的向量排序，直接维护半平面交，但是最后我们需要判断维护出来的凸包是否严格按照逆时针旋转，因为位置是相对的，可能出现一个向下的向量的左侧是一个向上的向量，这样的关系是矛盾的。

注意细节，由于我的模板用的是求直线交点，精度比较差，eps开的比较小。

//        ——By DD_BOND

//#include<bits/stdc++.h>
//#include<unordered_map>
//#include<unordered_set>
#include<functional>
#include<algorithm>
#include<iostream>
//#include<ext/rope>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<memory>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<deque>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>

#define fi first
#define se second
#define MP make_pair
#define pb push_back

#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")

typedef long long ll;

using namespace std;

const int MAXN=1e5+10;
const double eps=1e-18;
const double pi=acos(-1.0);
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

inline int dcmp(double x){
    if(fabs(x)<eps)    return 0;
    return (x>0? 1: -1);
}

inline double sqr(double x){ return x*x; }

struct Point{
    double x,y;
    Point(){ x=0,y=0; }
    Point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
    void input(){ scanf("%lf%lf",&x,&y); }
    void output(){ printf("%.2f %.2f
",x,y); }
    bool operator <(const Point &b)const{
        return (dcmp(x-b.x)==0? dcmp(y-b.y)<0 : x<b.x);
    }
    double operator ^(const Point &b)const{        //叉积
        return x*b.y-y*b.x;
    }
    double operator *(const Point &b)const{        //点积
        return x*b.x+y*b.y;
    }
    bool operator ==(const Point &b)const{
        return dcmp(x-b.x)==0&&dcmp(y-b.y)==0;
    }
    Point operator +(const Point &b)const{
        return Point(x+b.x,y+b.y);
    }
    Point operator -(const Point &b)const{
        return Point(x-b.x,y-b.y);
    }
    Point operator *(double a){
        return Point(x*a,y*a);
    }
    Point operator /(double a){
        return Point(x/a,y/a);
    }
    double len2(){    //长度平方
        return sqr(x)+sqr(y);
    }
    double len(){   //长度
        return sqrt(len2());
    }
};

inline double cross(Point a,Point b){    //叉积
    return a.x*b.y-a.y*b.x;
}

inline double dot(Point a,Point b){    //点积
    return a.x*b.x+a.y*b.y;
}

struct Line{
    Point s,e;
    Line(){}
    Line(Point _s,Point _e):s(_s),e(_e){}
    Point operator &(const Line &b)const{     //求两直线交点
        Point res=s;
        double t=((s-b.s)^(b.s-b.e))/(((s-e)^(b.s-b.e))+eps);
        res.x+=(e.x-s.x)*t;
        res.y+=(e.y-s.y)*t;
        return res;
    }
};

int relation(Point p,Line l){    //点和向量关系   1:左侧   2:右侧   3:在线上
    int c=dcmp(cross(p-l.s,l.e-l.s));
    if(c<0)    return 1;
    else if(c>0)    return 2;
    else    return 3;
}

bool counter_wise(Point *p,int n){            //多边形点集调整为逆时针顺序
    for(int i=1;i<n-1;i++)
        if(dcmp(cross(p[i]-p[i-1],p[i+1]-p[i-1]))>0)    return 0;
        else if(dcmp(cross(p[i]-p[i-1],p[i+1]-p[i-1]))<0){
            reverse(p,p+n);
            return 1;
        }
    return 1;
}

Point tmp[MAXN];
int convex_hull(Point *p,int n,Point *ch){    //求凸包
    int m=0;
    sort(p,p+n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        while(m>1&&dcmp(cross(tmp[m-1]-tmp[m-2],p[i]-tmp[m-1]))<=0)    m--;
        tmp[m++]=p[i];
    }
    int k=m;
    for(int i=n-2;i>=0;i--){
        while(m>k&&dcmp(cross(tmp[m-1]-tmp[m-2],p[i]-tmp[m-1]))<=0)    m--;
        tmp[m++]=p[i];
    }
    if(n>1)    m--;
    for(int i=0;i<m;i++)    ch[i]=tmp[i];
    return m;
}

Line que[MAXN];
int half_plane_intersection(Line *L,int n){    //以逆时针方向 半平面交求多边形的核  ch表示凸包的顶点  返回顶点数 -1则表示不存在
    int head=0,tail=1;
    que[0]=L[0],que[1]=L[1];
    for(int i=2;i<n;i++){
        while(tail>head&&relation(que[tail]&que[tail-1],L[i])==2)   tail--;
        while(tail>head&&relation(que[head]&que[head+1],L[i])==2)   head++;
        que[++tail]=L[i];
    }
    while(tail>head&&relation(que[tail]&que[tail-1],que[head])==2)  tail--;
    while(tail>head&&relation(que[head]&que[head+1],que[tail])==2)  head++;
    for(int i=head;i<=tail;i++){
        int j=(i==tail? head: i+1);
        if(dcmp(cross(que[i].e-que[i].s,que[j].e-que[j].s))<=0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

Line line[MAXN];
Point p[MAXN],q[MAXN],ops[MAXN];

int main(void){
    int T;  scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n;  scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)    p[i].input();
        int m;  scanf("%d",&m);
        for(int i=0;i<m;i++)    q[i].input();
        counter_wise(p,n);  m=convex_hull(q,m,q);
        double ans=INF;
        for(int t=1;t<=2;t++){
            for(int i=0;i<n;i++)    p[i]=Point(-p[i].x,-p[i].y);
            for(int i=0,j=0;i<n;i++){
                while(dcmp(cross(p[(i+1)%n]-p[i],q[(j-1+m)%m]-q[j]))<0||dcmp(cross(p[(i+1)%n]-p[i],q[(j+1)%m]-q[j]))<0)   j=(j+1)%m;
                ops[i]=q[j];
            }
            double l=0,r=1e10;
            for(int i=0;i<70;i++){
                double mid=(l+r)/2;
                for(int j=0;j<n;j++)    line[j]=Line(p[j]*mid-ops[j],p[(j+1)%n]*mid-ops[j]);
                if(half_plane_intersection(line,n)) r=mid;
                else    l=mid;
            }
            ans=min(ans,l);
        }
        printf("%.10lf
",ans);
    }
    return 0;
}