POJ1050 To the Max

题目来源：http://poj.org/problem?id=1050

题目大意：

　　给出一个N*N的整数方阵，求它的一个子矩阵，使得其元素之和最大。

例如4*4的方阵A：

0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 

左上角的子阵：
9 2 
-4 1 
-1 8 
元素之和15为最大。

输入：第一行为一个不大于100的整数N，后接N*N个整数，分别用空格、换行或空行隔开。每个整数都在范围[-127,127]之间。

输出：子阵元素和的最大值。

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Sample Input

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

Sample Output

15

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一道颇为经典的DP题。

首先，先看一个比该问题更简单更基础的问题：最大子序列和，或者叫最大子串和，连续子序列最大和等等。

问题很简答：给出一个一维数组A，求它的一个子数组，使得数组元素的和最大。

比如：给定数组A{5,-3,4,2}，那么它的最大子序列为{5,-3,4,2}，和为8，而{5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，和为6.仔细看这两个列子，我们会发现，找最大子序列的方法其实很简单：遍历原数组，假设当前扫描到第 i 个元素a ，假设以第 i-1 个元素为结尾的子序列和最大值b大于0，那么我们可以继续向后扫描，累加元素。反之，如果b小于0，那么如果把前面的串继续向后扩展，得到的和会比直接从a开始的子串小，所以应该把前面的串舍弃。同时，我们还应该记下每次算出的子序列和，如果比当前最大和大，则更新它。因为有可能出现所有元素都为负数的情况，所以最大和应该初始化为元素值的下限而不是0。

实例：

data:　　　　　　 1　　-2　　3　　10　　-4　　7　　  2　　 -5

b:　　　　0　　　 1　　-1　　3　　13　　9　　 16　　18　　13

max:　　-127　　1　　 1  　  3　　13　　13　  16　　18　　18

有了上面这个复杂度为O(n)的求一维数组最大子序列和的算法后，最大子矩阵和的问题就可以转化为这个问题从而得到解决了。首先是如何进行转化：一个矩阵的元素和，等于该矩阵中每一列的元素和再求和(相当于先把矩阵纵向压成一个数组，再把这个数组横向压成一个总和)。假设用c[i][j]表示方阵第 j 列前 i 行的元素和，那么c[i1][j] - c[i2 - 1][j]就可以表示第 j 列从第 i2 行到第 i1 行的元素之和。这样，对于每个行号 i1 和 i2，我们可以计算出每列在这两行之间的列元素和，这样就构成了一个一维数组，再对这个数组用上述最大子序列和算法，就可以得到由i2、i1确定上下边界的所有子阵的最大和了。由此，只需对所有的 i2<=i1 进行上述计算，记录找到的最大值即可。复杂度O(n^3)。

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//        POJ1050 To the Max
//        Memory: 244K        Time: 16MS
//        Language: C++        Result: Accepted
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#include <cstdio>

using namespace std;

int N;
int data[100][100];
int c[101][100];
int max_sum = -127;

int main(void) {
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            scanf("%d", &data[i][j]);
        }
    }

    //c[i][j]表示sum(data[0][j], data[1][j].. ,data[i - 1][j]), 即第i列前j个元素之和
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        for (int j = 0; j < N; ++j) {
            c[i][j] = c[i - 1][j] + data[i - 1][j];
        }
    }
    int a, b = 0;
    for (int i1 = 1; i1 <= N; ++i1) {
        for (int i2 = 1; i2 <= i1; ++i2) {
            b = 0;    //b为一行中以某元素为尾的子段的最大和
            for (int j = 0; j < N; ++j) {
                a = c[i1][j] - c[i2 - 1][j];    //第j列i1-1行至i2-1行元素之和
                if (b > 0) {
                    b += a;    //之前字段和与当前元素值之和
                } else {
                    b = a;    //前面的子段和不大于0，舍弃
                }
                max_sum = b > max_sum ? b : max_sum;
            }
        }
    }
    printf("%d", max_sum);
    return 0;
}