二叉查找树 操作

《算法导论》读书笔记之第12章 二叉查找树

 

摘要：

　　本章介绍了二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质，如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值，如何找出某一个元素的前驱和后继，如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比，一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn)，从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、二叉查找树

　　二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。http://www.cnblogs.com/Anker/archive/2013/01/27/2878594.html介绍了二叉树概念及其遍历。一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示：

书中给出了一个定理：如果x是一棵包含n个结点的子树的根，则其中根遍历运行时间为θ(n)。

问题：二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别？能否利用最小堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？

2、查询二叉查找树

　　二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进行了详细的讲解。

（1）查找SEARCH

　　在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似，根据二叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：首先是关键字k与树根的关键字进行比较，如果k大比根的关键字大，则在根的右子树中查找，否则在根的左子树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右子树中做出选择，减少一半的工作量）

书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码：

1 TREE_SEARCH(x,k)
2   if x=NULL or k=key[x]
3       then return x
4   if(k<key[x])
5       then return TREE_SEARCH(left[x],k)
6    else
7       then return TREE_SEARCH(right[x],k)

1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)
2   while x!=NULL and k!=key[x]
3       do if k<key[x]
4               then x=left[x]
5            else
6               then x=right[x]
7    return x

（2）查找最大关键字和最小关键字

　　根据二叉查找树的特征，很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字：从根结点开始，沿着各个节点的left指针查找下去，直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树，则以x为根的子树中，最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字：从根结点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码：

1 TREE_MINMUM(x)
2    while left[x] != NULL
3       do x=left[x]
4    return x

1 1 TREE_MAXMUM(x)
2 2    while right[x] != NULL
3 3         do x= right[x]
4 4     return x

（3）前驱和后继

　　给定一个二叉查找树中的结点，找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同，则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点，后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质，不用对关键字做任何比较，就可以找到某个结点的前驱和后继。

　　查找前驱步骤：先判断x是否有左子树，如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点，即是x的前驱。如果没有左子树，则从x继续向上执行此操作，直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程：

　　查找后继步骤：先判断x是否有右子树，如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点，即使x的后继。如果没有右子树，则从x的父节点开始向上查找，直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程：

书中给出了求x结点后继结点的伪代码:

1 TREE_PROCESSOR(x)
2     if right[x] != NULL
3         then return TREE_MINMUM(right(x))
4     y=parent[x]
5     while y!= NULL and x ==right[y]
6            do x = y
7                y=parent[y]
8     return y

定理：对一棵高度为h的二叉查找，动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。

3、插入和删除

　　插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。

（1）插入

　　插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：

书中给出了插入过程的伪代码：

 1 TREE_INSERT(T,z)
 2     y = NULL;
 3     x =root[T]
 4     while x != NULL
 5         do y =x
 6             if key[z] < key[x]
 7                  then x=left[x]
 8                  else  x=right[x]
 9      parent[z] =y
10      if y=NULL
11         then root[T] =z
12         else if key[z]>key[y]
13                    then  keft[y]  = z
14                    else   right[y] =z

插入过程运行时间为O(h)，h为树的高度。

（2）删除

　　从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：

<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：

<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：

<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。

书中给出了删除过程的伪代码：

 1 TREE_DELETE(T,z)
 2     if left[z] ==NULL or right[z] == NULL
 3        then y=z
 4        else  y=TREE_SUCCESSOR(z)
 5    if left[y] != NULL
 6        then x=left[y]
 7        else  x=right[y]
 8    if x!= NULL
 9        then parent[x] = parent[y]
10    if p[y] ==NULL
11       then root[T] =x
12       else if y = left[[prarnt[y]]
13                   then left[parent[y]] = x
14                   else  right[parent[y]] =x
15     if y!=z
16         then key[z] = key[y]
17               copy y's data into z
18      return y        

定理：对高度为h的二叉查找树，动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。

4、实现测试

　　采用C++语言实现一个简单的二叉查找树，支持动态集合的基本操作：search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示：

 1 template <class T>
 2 class  BinarySearchTreeNode
 3 {
 4 public:
 5     T elem;
 6     struct BinarySearchTreeNode<T> *parent;
 7     struct BinarySearchTreeNode<T>* left;
 8     struct BinarySearchTreeNode<T>* right;
 9 };
10 
11 template <class T>
12 class BinarySearchTree
13 {
14 public:
15     BinarySearchTree();
16     void tree_insert(const T& elem);
17     int  tree_remove(const T& elem );
18     BinarySearchTreeNode<T>* tree_search(const T& elem)const;
19     T tree_minmum(BinarySearchTreeNode<T>* root)const;
20     T tree_maxmum(BinarySearchTreeNode<T>* root)const;
21     T tree_successor(const T& elem) const;
22     T tree_predecessor(const T& elem)const;
23     int empty() const;
24     void inorder_tree_walk()const;
25     BinarySearchTreeNode<T>* get_root()const {return root;}
26 private:
27     BinarySearchTreeNode<T>* root;
28 };

 完整程序如下所示：

程序测试结果如下所示：

　　二叉树实现时候添加了一个父结点指针，方便寻找给定结点的前驱和后继。二叉树中删除操作实现比较复杂，需要分类讨论，我分三种情况进行讨论，程序写的有些繁琐，可以进行优化。优化后的代码如下：

 1 template <class T>
 2 int BinarySearchTree<T>::tree_delete(const T& elem)
 3 {
 4     //找到该元素对应的结点
 5     BinarySearchTreeNode<T>* pnode = tree_search(elem);
 6     if(NULL != pnode)
 7     {
 8         BinarySearchTreeNode<T> *qnode,*tnode;
 9         //判断结点是否有左右孩子
10         if(pnode->left == NULL || pnode->right == NULL)
11             qnode = pnode;   //有一个左孩子或者一个右孩子和没有左右孩子
12         else
13             qnode = tree_search(tree_successor(elem)); //有左右孩子
14         if(NULL != qnode->left)
15             tnode = qnode->left;
16         else
17             tnode = qnode->right;
18         if(NULL != tnode)
19             tnode->parent = qnode->parent;
20         if(qnode->parent == NULL)
21             root = tnode;
22         else
23             if(qnode == qnode->parent->left)
24                 qnode->parent->left = tnode;
25             else
26                 qnode->parent->right = tnode;
27         if(qnode != pnode)
28             pnode->elem = qnode->elem;  //将后继结点的值复制到要删除的结点的值
29         delete qnode;
30         return 0;
31     }
32     return -1;
33 }

5、随机构造二叉查找树

　　二叉查找上各种基本操作的运行时间都是O(h)，h为树的高度。但是在元素插入和删除过程中，树的高度会发生改变。如果n个元素按照严格增长的顺序插入，那个构造出的二叉查找树的高度为n-1。例如按照先后顺序插入7、15、18、20、34、46、59元素构造二叉查找树，二叉查找树结构如下所示：