信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析

1. 知识回顾

（1）经典时域分析方法

线性时不变（LTI）系统是最常见最有用的一类系统，描述这类系统的输入-输出特性的是常系数线性微分方程。

[egin{array}{l}
{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + cdot cdot cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \
{b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + cdot cdot cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t)
end{array}]

齐次解：${y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) +  cdot  cdot  cdot  + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0$

特征方程：[{lambda ^n} + {a_{n - 1}}{lambda ^{n - 1}} +  cdot  cdot  cdot  + {a_1}lambda  + {a_0} = 0]

• 均为单根：[{y_h}(t) = sumlimits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{lambda _i}t}}} ]
• 有重根（$r$重根）：[{y_h}(t) = sumlimits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{lambda _1}t}}} ]
• 共轭复根（${lambda _{1,2}} = alpha  pm jeta $）：[{e^{alpha t}}({C_1}cos eta t + {C_2}sin eta t)]
• $r$重复根：[{e^{alpha t}}(sumlimits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} cos eta t + sumlimits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} sin eta t)]

特解：

• $f(t) = {t^m}$
  • 所有的特征根均不等于0：[{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} +  cdot  cdot  cdot  + {P_1}t + {P_0}]
  • 有$r$重等于0的特征根：[{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} +  cdot  cdot  cdot  + {P_1}t + {P_0}]]
$f(t) = {e^{alpha t}}$：
• $alpha $不是特征根：[{y_p}(t) = P{e^{alpha t}}]
• $alpha $是特征单根：[{y_p}(t) = {P_1}t{e^{alpha t}} + {P_0}{e^{alpha t}}]
• $alpha $是$r$重特征根：[{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} +  cdot  cdot  cdot  + {P_1}t + {P_0}){e^{alpha t}}]
• $f(t) = cos eta t$或$sin eta t$：
  • 所有特征根均不等于$ pm jeta $：[{y_p}(t) = {P_1}cos eta t + {P_2}sin eta t]
  • $ pm jeta $是特征单根：[{y_p}(t) = t[{P_1}cos eta t + {P_2}sin eta t]]

全解：[y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)]

（2）零输入响应与零状态响应

[y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)]

（3）冲激响应和阶跃响应

[left{ egin{array}{l}
delta (t) = frac{{{ m{d}}varepsilon (t)}}{{{ m{d}}t}}\
varepsilon (t) = int_{ - infty }^t {delta ( au ){ m{d}} au }
end{array} ight.]

[left{ egin{array}{l}
h(t) = frac{{{ m{d}}g(t)}}{{{ m{d}}t}}\
g(t) = int_{ - infty }^t {h( au ){ m{d}} au }
end{array} ight.]

（4）卷积积分

[y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = int_{ - infty }^{ + infty } {{f_1}( au ){f_2}(t - } au ){ m{d}} au ]

系统的零状态响应：[{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)]

卷积积分的性质：

• 交换律
• 分配率
• 结合律

任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本身：[f(t) * delta (t) = f(t)]

2. 利用MATLAB求LTI连续系统的响应

LTI连续系统以常微分方程描述，如果系统的输入信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。在MATLAB中，控制系统工具箱提供了函数lsim()，能对微分方程描述的LTI连续系统的响应进行仿真。该函数能够绘制连续系统在指定的任意时间范围内时域波形图，还能求出连续系统在指定的任意时间范围内响应的数值解。

• lsim(b,a,x,t);

a和b是描述系统的微分方程系数决定的表示该系统的两个行向量，x和t是表示输入信号的行向量（t表示输入信号的时间范围，x则表示在t定义的时间点上的输入取样值）。

$frac{{{{ m{d}}^2}}}{{{ m{d}}{t^2}}}yleft( t ight) + 2frac{{ m{d}}}{{{ m{d}}t}}yleft( t ight) + yleft( t ight) = frac{{ m{d}}}{{{ m{d}}t}}fleft( t ight) + 2fleft( t ight)$

$fleft( t ight) = 5{e^{ - 2t}}varepsilon left( t ight)$

求零状态响应

a=[1,2,1];
b=[1,2];
p=0.01;
t=0:p:5;
f=5*exp(-2*t);
lsim(b,a,f,t);
ylabel('y(t)');

3. 利用MATLAB求LTI连续系统的冲激响应和阶跃响应

• impulse(b,a);
• impulse(b,a,t);
• impulse(b,a,t1:p:t2);

• step(b,a);
• step(b,a,t);
• step(b,a,t1:p:t2);

$2frac{{{{ m{d}}^2}}}{{{ m{d}}{t^2}}}yleft( t ight) + frac{{ m{d}}}{{{ m{d}}t}}yleft( t ight) + 8yleft( t ight) = fleft( t ight)$

求冲激响应和阶跃响应

b=1;
a=[2,1,8];
subplot(1,2,1);impulse(b,a);
subplot(1,2,2);step(b,a);

4. 利用MATLAB实现连续时间信号的卷积

• 对连续信号进行采样，得到离散序列；
• 构造与输入离散序列相对应的时间向量；
• 调用conv()函数计算卷积积分；
• 构造与输出序列对应的时间向量。

function [f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p)
%计算连续信号卷积积分复f(t)=f1(t)*f2(t)
%f：卷积积分f(t)对应的非零样值向量
%k：f(t)的对应时间向量
%f1：f1(t)对应的非零样值向量
%f2：f2(t)对应的非零样值向量
%k1：f1(t)的对应时间向量
%k2：f2(t)的对应时间向量
%p：取样时间间隔
f=conv(f1,f2);
f=f*p;
k0=k1(1)+k2(1);
k3=length(f1)+length(f2)-2;
k=k0:p:k3*p;
subplot(2,2,1);plot(k1,f1);title('f1(t)');xlabel('t');ylabel('f1(t)');
subplot(2,2,2);plot(k2,f2);title('f2(t)');xlabel('t');ylabel('f2(t)');
subplot(2,2,3);plot(k,f);h=get(gca,'position');
h(3)=2.5*h(3);set(gca,'position',h);title('f(t)=f1(t)*f2(t)');
xlabel('t');ylabel('f(t)');
end

p=0.005;
k1=0:p:2;
f1=0.5*k1;
k2=k1;
f2=f1;
[f,k]=sconv(f1,f2,k1,k2,p);

conv()函数本来是用来做多项式乘法的。

• w = conv(u,v)
• w = conv(u,v,shape)

$({x^2} + 1)(2x + 7) = 2{x^3} + 7{x^2} + 2x + 7$

shape：

• 'full'：完整的卷积(默认)；
• 'same'：与u相同大小的卷积的中心部分；
• 'valid'：只有那些计算卷积时没有在边缘填充0的部分。