第二次参加USACO 本来打算2016-2017全勤的 January的好像忘记打了 听群里有人讨论才想起来
铂金组三题很有意思，都是两个排列的交叉对问题 我最后得分889/1000（真的菜）
T1.Why Did the Cow Cross the Road
题目大意：给出两个N个排列（N<=100,000），允许把其中一个排列循环移动任意位，a[i]表示i在第一个排列中的位置，b[i]表示第二个，定义交叉对(i,j)满足a[i]<a[j]且b[i]>b[j]，求最少交叉对。
思路：数字大小没有影响，于是令第一个排列中第一个出现的编号为1，第二个出现的编号为2，于是变成最小化第二个排列的逆序对，一开始的逆序对可以O(nlogn)求出，然后考虑把当前第一个数移到最后，若这个数编号为x，明显多了n-x个逆序对，少了x-1个逆序对，就可以O(n)求出所有循环移动第二个排列的情况，然后我开心的交了，开心的WA了，后来才知道，自己忘记考虑移第一个的情况了（其实只要反过来再做一遍）。
得分：8/10（幸好数据大多是移第二个的？）
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; char B[1<<26],*S=B,C;int X; inline int read() { while((C=*S++)<'0'||C>'9'); for(X=C-'0';(C=*S++)>='0'&&C<='9';)X=(X<<3)+(X<<1)+C-'0'; return X; } #define MN 100000 #define N 131072 int f[MN+5],a[MN+5],t[N*2]; void inc(int k){for(k+=N;k;k>>=1)++t[k];} int query(int l,int r) { int res=0; for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) { if(~l&1)res+=t[l+1]; if( r&1)res+=t[r-1]; } return res; } int main() { freopen("mincross.in","r",stdin); freopen("mincross.out","w",stdout); fread(B,1,1<<26,stdin); int n=read(),i;long long ans,cnt=0; for(i=1;i<=n;++i)f[read()]=i; for(i=1;i<=n;++i)cnt+=query(a[i]=f[read()],n),inc(a[i]); for(ans=cnt,i=1;i<n;++i)if((cnt+=n-(a[i]<<1)+1)<ans)ans=cnt; cout<<ans; }
AC代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> using namespace std; char B[1<<26],*S=B,C;int X; inline int read() { while((C=*S++)<'0'||C>'9'); for(X=C-'0';(C=*S++)>='0'&&C<='9';)X=(X<<3)+(X<<1)+C-'0'; return X; } #define MN 100000 #define N 131072 int c[MN+5],d[MN+5],f[MN+5],a[MN+5],t[N*2]; void inc(int k){for(k+=N;k;k>>=1)++t[k];} int query(int l,int r) { int res=0; for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) { if(~l&1)res+=t[l+1]; if( r&1)res+=t[r-1]; } return res; } int main() { freopen("mincross.in","r",stdin); freopen("mincross.out","w",stdout); fread(B,1,1<<26,stdin); int n=read(),i;long long ans,cnt=0; for(i=1;i<=n;++i)f[c[i]=read()]=i; for(i=1;i<=n;++i)cnt+=query(a[i]=f[d[i]=read()],n),inc(a[i]); for(ans=cnt,i=1;i<n;++i)if((cnt+=n-(a[i]<<1)+1)<ans)ans=cnt; for(i=1;i<=n;++i)f[d[i]]=i; memset(t,cnt=0,sizeof(t)); for(i=1;i<=n;++i)cnt+=query(a[i]=f[c[i]],n),inc(a[i]); for(ans=min(ans,cnt),i=1;i<n;++i)if((cnt+=n-(a[i]<<1)+1)<ans)ans=cnt; cout<<ans; }
T2.Why Did the Cow Cross the Road II
题目大意：两个排列排成两排（长度<=100,000），两排间相差不超过4的可以连边，边不能有交叉，问最多连几条。
思路：金组也有这道，不过N只有1000，考虑DP，f[i][j]表示第一个排列用到第i个 ，第二个排列用到第j个，最多连几条边，f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])，若a[i]和b[j]相差不超过4，f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1)，就能O(n^2)完成。由于对于每个a[i]，相差不超过4的b[j]的最多9个，我们把状态的j改成用了j，每个f[i]相对f[i-1]只变了9个，然后拿线段树维护一下就可以O(9nlogn)来DP了。
得分：10/10
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; char B[1<<26],*S=B,C;int X; inline int read() { while((C=*S++)<'0'||C>'9'); for(X=C-'0';(C=*S++)>='0'&&C<='9';)X=(X<<3)+(X<<1)+C-'0'; return X; } #define MN 100000 #define N 131072 int a[MN+5],b[MN+5],t[N*2],g[10]; void renew(int k,int x){for(k+=N;k;k>>=1)t[k]=max(t[k],x);} int query(int l,int r) { int res=0; for(l+=N-1,r+=N+1;l^r^1;l>>=1,r>>=1) { if(~l&1)res=max(res,t[l+1]); if( r&1)res=max(res,t[r-1]); } return res; } int main() { freopen("nocross.in","r",stdin); freopen("nocross.out","w",stdout); fread(B,1,1<<26,stdin); int n=read(),i,j; for(i=1;i<=n;++i)a[i]=read(); for(i=1;i<=n;++i)b[read()]=i; for(i=1;i<=n;++i) { for(j=-4;j<=4;++j)if(a[i]+j>0&&a[i]+j<=n)g[j+4]=query(1,b[a[i]+j]-1)+1; for(j=-4;j<=4;++j)if(a[i]+j>0&&a[i]+j<=n)renew(b[a[i]+j],g[j+4]); } printf("%d",query(1,n)); }
T3.Why Did the Cow Cross the Road III
题目大意：两个排列（长度<=100,000），相等的连边，相差超过K的称为不友好，求不友好交叉对。
思路：我比较菜，只会暴力，考虑对每对相等的计算答案，每对a[i]=b[j]，把a[i]左边设成1，右边设成0，b[j]同样，与这条边有交叉的边必然被编成一个1，1个0，也就是异或为1，考虑统计答案，做法1：把每个值现在的两个编码的异或值用树状数组维护，把每条边的当成一个二维询问，考虑莫队，插入和删除一个值都相当于令这个值编码的异或值异或上1，复杂度O(n^1.5logn)；做法2：用可持久化bitset搞出两个排列所有前缀后缀的bitset，bitset里存每个值的编码，每条边都拿出bitset异或一下，复杂度O(n^2/32)。我比较懒，写了莫队，一开始T了六七个，调了下块大小，最后在K=3n^0.5左右只T两个点，玄妙无比。另外用sum(n)-sum(i+k)统计貌似比sum(i-k-1)多过了一个点，原理不明。
得分：13/15
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; char B[1<<26],*S=B,C;int X; inline int read() { while((C=*S++)<'0'||C>'9'); for(X=C-'0';(C=*S++)>='0'&&C<='9';)X=(X<<3)+(X<<1)+C-'0'; return X; } #define MN 100000 #define K 1050 #define lb(x) (x&-x) int a[MN+5],b[MN+5],f[MN+5],s[MN+5]; struct query{int a,b,x;}q[MN+5]; bool cmp(query a,query b){return a.a/K==b.a/K?a.b<b.b:a.a<b.a;} int sum(int x){int r=0;for(;x;x-=lb(x))r+=s[x];return r;} void rev(int x){int r=(f[x]^1)-f[x];f[x]^=1;for(;x<=MN;x+=lb(x))s[x]+=r;} int main() { freopen("friendcross.in","r",stdin); freopen("friendcross.out","w",stdout); fread(B,1,1<<26,stdin); int n,k,i,pa=0,pb=0;long long ans=0; n=read();k=read(); for(i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),q[a[i]].a=i,q[a[i]].x=a[i]+k; for(i=1;i<=n;++i)b[i]=read(),q[b[i]].b=i; sort(q+1,q+n+1,cmp); for(i=1;i<=n;++i) { if(q[i].x>=n)continue; while(pa<q[i].a)rev(a[++pa]); while(pa>q[i].a)rev(a[pa--]); while(pb<q[i].b)rev(b[++pb]); while(pb>q[i].b)rev(b[pb--]); ans+=sum(n)-sum(q[i].x); } cout<<ans; }
正解：把每个数字在两个排列中的位置抽象到二维平面上（例如1在第一个排列中排第2个，在第二个排列中排第3，则用(2,3)表示），那么若两个数字交叉，则其中一个数字在二维平面上必然在另一个点的左上方（一维小，另一维大），要统计不友好交叉对，对每个点i统计1~i-k-1，i+k+1~n中有多少个点在他左上就好了，考虑把两个分开处理，可以依次插入点i，询问点i+k+1，插入点i+1，询问点i+k+2……另一个反过来再做一遍就能算出答案。这个问题可以用cdq分治或者二维线段树解决，复杂度O(nlogn^2)。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<iostream> using namespace std; #define ll long long char B[1<<26],*S=B,C;int X; inline int read() { while((C=*S++)<'0'||C>'9'); for(X=C-'0';(C=*S++)>='0'&&C<='9';)X=(X<<3)+(X<<1)+C-'0'; return X; } #define MN 100000 int a[MN+5],b[MN+5],t[MN*2+5],x[MN*2+5],y[MN*2+5],s[MN+5];ll ans; struct query{int x,y,t;}q[MN*2+5]; bool cmp(query a,query b){return a.x<b.x;} void inc(int x,int z){for(;x<=MN;x+=x&-x)s[x]+=z;} int sum(int x){int r=0;for(;x;x-=x&-x)r+=s[x];return r;} void solve(int l,int r) { if(l>=r)return; int i,mid=l+r>>1,qn; for(i=l,qn=0;i<=mid;++i)if(t[i])q[++qn]=(query){x[i],y[i],t[i]}; for(i=mid;++i<=r;)if(!t[i])q[++qn]=(query){x[i],y[i],t[i]}; sort(q+1,q+qn+1,cmp); for(i=1;i<=qn;++i) if(q[i].t)inc(q[i].y,1); else ans+=sum(MN)-sum(q[i].y); for(i=1;i<=qn;++i)if(q[i].t)inc(q[i].y,-1); solve(l,mid);solve(mid+1,r); } int main() { freopen("friendcross.in","r",stdin); freopen("friendcross.out","w",stdout); fread(B,1,1<<26,stdin); int n,k,i,cnt; n=read();k=read(); for(i=1;i<=n;++i)a[read()]=i; for(i=1;i<=n;++i)b[read()]=i; for(cnt=0,i=1;i+k+1<=n;++i) { x[++cnt]=a[i];y[cnt]=b[i];t[cnt]=1; x[++cnt]=a[i+k+1];y[cnt]=b[i+k+1];t[cnt]=0; } solve(1,cnt); for(cnt=0,i=n;i-k-1;--i) { x[++cnt]=a[i];y[cnt]=b[i];t[cnt]=1; x[++cnt]=a[i-k-1];y[cnt]=b[i-k-1];t[cnt]=0; } solve(1,cnt); cout<<ans; fclose(stdin);fclose(stdout);return 0; }