zoukankan      html  css  js  c++  java
  • MATLAB矩阵运算(2)

    1.2.14  特殊运算

    1.矩阵对角线元素的抽取

    函数  diag

    格式  X = diag(v,k)   %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素,当k=0时,v为X的主对角线;当k>0时,v为上方第k条对角线;当k<0时,v为下方第k条对角线。

    X = diag(v)    %以v为主对角线元素,其余元素为0构成X。

    v = diag(X,k)   %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0:抽取主对角线元素;k>0:抽取上方第k条对角线元素;k<0抽取下方第k条对角线元素。

    v = diag(X)    %抽取主对角线元素构成向量v。

    例1-46

    >> v=[1 2 3];

    >> x=diag(v,-1)

    x =

         0     0     0     0

         1     0     0     0

         0     2     0     0

         0     0     3     0

    >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

    A =

         1     2     3

         4     5     6

         7     8     9

    >> v=diag(A,1)

    v =

         2

         6

    2.上三角阵和下三角阵的抽取

    函数  tril   %取下三角部分

    格式  L = tril(X)     %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L

    L = tril(X,k)    %抽取X的第k条对角线的下三角部分;k=0为主对角线;k>0为主对角线以上;k<0为主对角线以下。

    函数  triu    %取上三角部分

    格式  U = triu(X)    %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U

    U = triu(X,k)   %抽取X的第k条对角线的上三角部分;k=0为主对角线;k>0为主对角线以上;k<0为主对角线以下。

    例1-47

    >> A=ones(4)    %产生4阶全1阵

    A =

       1     1     1     1

         1     1     1     1

         1     1     1     1

         1     1     1     1

    >> L=tril(A,1)    %取下三角部分

    L =

         1     1     0     0

         1     1     1     0

         1     1     1     1

         1     1     1     1

    >> U=triu(A,-1)    %取上三角部分

    U =

         1     1     1     1

         1     1     1     1

         0     1     1     1

         0     0     1     1

    3.矩阵的变维

    矩阵的变维有两种方法,即用“:”和函数“reshape”,前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作;而后者是对于一个矩阵的操作。

    (1)“:”变维

    例1-48

    > A=[1 2 3 4 5 6;6 7 8 9 0 1]

    A =

         1     2     3     4     5     6

         6     7     8     9     0     1

    >> B=ones(3,4)

    B =

         1     1     1     1

         1     1     1     1

         1     1     1     1

    >> B(:)=A(:)

    B =

         1     7     4     0

         6     3     9     6

         2     8     5     1

    (2)Reshape函数变维

    格式  B = reshape(A,m,n)       %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B

    B = reshape(A,m,n,p,…)   %将矩阵A变维为m×n×p×…

    B = reshape(A,[m n p…])   %同上

    B = reshape(A,siz)        %由siz决定变维的大小,元素个数与A中元素个数

    相同。

    例1-49  矩阵变维

    >> a=[1:12];

    >> b=reshape(a,2,6)

    b =

         1     3     5     7     9    11

         2     4     6     8    10    12

    4.矩阵的变向

    (1)矩阵旋转

    函数

    格式  B = rot90 (A)    %将矩阵A逆时针方向旋转90°

    B = rot90 (A,k)   %将矩阵A逆时针方向旋转(k×90°),k可取正负整数。

    例1-50

    >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

    A =

         1     2     3

         4     5     6

         7     8     9

    >> Y1=rot90(A),Y2=rot90(A,-1)

    Y1 =     %逆时针方向旋转

        3     6     9

        2     5     8

        1     4     7

    Y2 =     %顺时针方向旋转

        7     4     1

        8     5     2

        9     6     3

    (2)矩阵的左右翻转

    函数  fliplr

    格式  B = fliplr(A)   %将矩阵A左右翻转

    (3)矩阵的上下翻转

    函数  flipud

    格式  B = flipud(A)   %将矩阵A上下翻转

    例1-51

    >> A=[1 2 3;4 5 6]

    A =

         1     2     3

         4     5     6

    >> B1=fliplr(A),B2=flipud(A)

    B1 =

        3     2     1

        6     5     4

    B2 =

        4     5     6

        1     2     3

    (4)按指定维数翻转矩阵

    函数  flipdim

    格式  B = flipdim(A,dim)    % flipdim(A,1) = flipud(A),并且flipdim(A,2)=fliplr(A)。

    例1-52

    >> A=[1 2 3;4 5 6]

    A =

         1     2     3

         4     5     6

    >> B1=flipdim(A,1),B2=flipdim(A,2)

    B1 =

        4     5     6

        1     2     3

    B2 =

        3     2     1

        6     5     4

    (5)复制和平铺矩阵

    函数  repmat

    格式  B = repmat(A,m,n)       %将矩阵A复制m×n块,即B由m×n块A平铺而成。

    B = repmat(A,[m n])      %与上面一致

    B = repmat(A,[m n p…])   %B由m×n×p×…个A块平铺而成

    repmat(A,m,n)           %当A是一个数a时,该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。

    例1-53

    >> A=[1 2;5 6]

    A =

         1     2

         5     6

    >> B=repmat(A,3,4)

    B =

         1     2       1     2       1     2       1     2

         5     6       5     6       5     6       5     6

         1     2       1     2       1     2       1     2

         5     6       5     6       5     6       5     6

         1     2       1     2       1     2       1     2

         5     6       5     6       5     6       5     6

    5.矩阵的比较关系

    矩阵的比较关系是针对于两个矩阵对应元素的,所以在使用关系运算时,首先应该保证两个矩阵的维数一致或其中一个矩阵为标量。关系运算是对两个矩阵的对应运算进行比较,若关系满足,则将结果矩阵中该位置元素置为1,否则置0。

    MATLAB的各种比较关系运算有见表1-1。

    表1-1

    运算符

    含义

    运算符

    含义

    大于关系

    大于关系

    = =

    等于关系

    >=

    大于或等于关系

    <=

    小于或等于关系

    ~ =

    不等于关系

    例1-54

    >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];B=[0 2 1 4;0 7 7 2];

    >> C1=A==B, C2=A>=B, C3=A~=B

    C1 =

        0     1     0     1

        0     0     1     0

    C2 =

        1     1     1     1

        1     0     1     1

    C3 =

        1     0     1     0

        1     1     0     1

    6.矩阵元素的数据变换

    对于小数构成的矩阵A来说,如果我们想对它取整数,有以下几种方法:

    (1)按-∞方向取整

    函数  floor

    格式  floor(A)   %将A中元素按-∞方向取整,即取不足整数。

    (2)按+∞方向取整

    函数  ceil

    格式  ceil(A)   %将A中元素按+∞方向取整,即取过剩整数。

    (3)四舍五入取整

    函数  round

    格式  round (A)   %将A中元素按最近的整数取整,即四舍五入取整。

    (4)按离0近的方向取整

    函数  fix

    格式  fix (A)   %将A中元素按离0近的方向取整

    例1-55

    >> A=-1.5+4*rand(3)

    A =

       2.3005    0.4439    0.3259

      -0.5754    2.0652   -1.4260

       0.9274    1.5484    1.7856

    >> B1=floor(A),B2=ceil(A),B3=round(A),B4=fix(A)

    B1 =

        2     0     0

       -1     2    -2

        0     1     1

    B2 =

        3     1     1

        0     3    -1

        1     2     2

    B3 =

        2     0     0

       -1     2    -1

        1     2     2

    B4 =

        2     0     0

        0     2    -1

        0     1     1

    (5)矩阵的有理数形式

    函数  rat

    格式  [n,d]=rat (A)   %将A表示为两个整数矩阵相除,即A=n./d。

    例1-56  对于上例中的A

    >> [n,d]=rat(A)

    n =

           444          95         131

           -225        2059        -472

           166          48         1491

    d =

       193   214   402

       391   997   331

       179    31   835

    (6)矩阵元素的余数

    函数  rem

    格式  C = rem (A, x)   %表示A矩阵除以模数x后的余数。若x=0,则定义rem(A, 0)=NaN,若x≠0,则整数部分由fix(A./x)表示,余数C=A-x.*fix (A./x)。允许模x为小数。

    7.矩阵逻辑运算

    设矩阵A和B都是m×n矩阵或其中之一为标量,在MATLAB中定义了如下的逻辑运算:

    (1)矩阵的与运算

    格式  A&B或and(A, B)

    说明  A与B对应元素进行与运算,若两个数均非0,则结果元素的值为1,否则为0。

    (2)或运算

    格式  A|B或or(A, B)

    说明  A与B对应元素进行或运算,若两个数均为0,则结果元素的值为0,否则为1。

    (3)非运算

    格式  ~A或not (A)

    说明  若A的元素为0,则结果元素为1,否则为0。

    (4)异或运算

    格式  xor (A,B)

    说明  A与B对应元素进行异或运算,若相应的两个数中一个为0,一个非0,则结果为0,否则为1。

    例1-57

    >> A=[0 2 3 4;1 3 5 0],B=[1 0 5 3;1 5 0 5]

    A =

       0     2     3     4

         1     3     5     0

    B =

         1     0     5     3

         1     5     0     5

    >> C1=A&B,C2=A|B,C3=~A,C4=xor(A,B)

    C1 =

        0     0     1     1

        1     1     0     0

    C2 =

        1     1     1     1

        1     1     1     1

    C3 =

        1     0     0     0

        0     0     0     1

    C4 =

        1     1     0     0

        0     0     1     1

    1.2.15  符号矩阵运算

    1.符号矩阵的四则运算

    Matlab 6.x 抛弃了在4.2版中为符号矩阵设计的复杂函数形式,把符号矩阵的四则运算简化为与数值矩阵完全相同的运算方式,其运算符为:加(+)、减(-)、乘(×)、除(/、\)等或:符号矩阵的和(symadd)、差(symsub)、乘 (symmul)。

    例1-58  >>

    >> ;

    >>C=B-A

    >>D=a\b

    则显示:

    C=

    x-1/x  1-1/(x+1)

    x+2-1/(x+2)   -1/(x+3)

    D=

    -6*x-2*x^3-7*x^2     1/2*x^3+x+3/2*x^2

    6+2*x^3+10*x^2+14*x   -2*x^2-3/2*x-1/2*x^3

    2.其他基本运算

    符号矩阵的其他一些基本运算包括转置(')、行列式(det)、逆(inv)、秩(rank)、幂(^)和指数(exp和expm)等都与数值矩阵相同

    3.将数值矩阵转化为符号矩阵

    函数  sym

    格式  B=sym(A)   %将A转化为符号矩阵B

    例1-59 

    >> A=[2/3,sqrt(2),0.222;1.4,1/0.23,log(3)]

    A =

       0.6667    1.4142    0.2220

       1.4000    4.3478    1.0986

    >> B=sym(A)

    B =

    [  2/3,      sqrt(2),                     111/500]

    [   7/5,     100/23,    4947709893870346*2^(-52)]

    4.符号矩阵的索引与修改

    符号矩阵的索引与修改同数值矩阵的索引与修改完全相同,即用矩阵的坐标括号表达式实现。

    例1-60  对上例中的矩阵B

    >> B(2,3)      %矩阵的索引

    ans =

    4947709893870346*2^(-52)

    >> B(2,3)='log(7)'     %矩阵的修改

    B =

    [     2/3, sqrt(2), 111/500]

    [     7/5,  100/23,  log(7)]

    5.符号矩阵的简化

    符号工具箱中提供了符号矩阵因式分解、展开、合并、简化及通分等符号操作函数。

    (1)因式分解

    函数  factor

    格式  factor(s)    %符号表达式s的因式分解函数

    说明  S为符号矩阵或符号表达式,常用于多项式的因式分解。

    例1-61  将x 9-1分解因式

    在Matlab命令窗口键入:

    syms x

    factor(x^9-1)

    则显示:ans =

    (x-1)*(x^2+x+1)*(x6+x^3+1)

    例1-62  问“入”取何值时,齐次方程组 有非0解?

    解:在Matlab编辑器中建立M文件:

    syms k

    A=[1-k -2 4;2 3-k 1;1 1 1-k];

    D=det(A)

    factor(D)

    其结果显示如下:

    D =

    -6*k+5*k^2-k^3

    ans =

    -k*(k-2)*(-3+k)

    从而得到:当k=0、k=2或k=3时,原方程组有非0解。

    (2)符号矩阵的展开

    函数  expand  

    格式:expand(s)   %符号表达式s的展开函数

    说明:s为符号矩阵或表达式。常用在多项式的因式分解中,也常用于三角函数,指数函数和对数函数的展开中。

    例1-63  将(x+1)3、sin(x+y)展开

    在Matlab编辑器中建立M文件:

    syms  x  y

    p=expand((x+1)^3)

    q=expand(sin(x+y))

    则结果显示为

    p =

        x^3+3*x^2+3*x+1

    q =

    sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)

    (3)同类式合并

    函数  Collect

    格式  Collect(s,v)   %将s中的变量v的同幂项系数合并

    Collect(s)    % s是矩阵或表达式,此命令对由命令findsym函数返回的默认变量进行同类项合并。

    (4)符号简化

    函数  simple或simplify   %寻找符号矩阵或符号表达式的最简型

    格式  simple (s)          % s是矩阵或表达式

          [R,how]=simple (s)  %R为返回的最简形,how为简化过程中使用的主要方法。

    说明  Simple(s)将表达式s的长度化到最短。若还想让表达式更加精美,可使用函数Pretty。

    格式  Pretty(s)     %使表达式s更加精美

    例1-64  计算行列式 的值。

    在Matlab编辑器中建立M文件:

    syms  a  b  c  d

    A=[1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];

    d1=det(A)

    d2=simple(d1)     %化简表达式d1

    pretty(d2)      %让表达式d2符合人们的书写习惯

    则显示结果如下:

    d1 =

    b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-a^2*b^4*c-a^4*c*d^2+a^4*d*c^2+a^4*b*d^2-a^4*b*c^2-a^4*b^2*d+a^4*b^2*c

    d2 =

    (-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-b)*(a+c+d+b)

    (-d+c)(b-d)(b-c)(-d+a)(a-c)(a-b)(a+c+d+b)

    1.2.16  矩阵元素个数的确定

    函数  numel

    格式  n = numel(a)    %计算矩阵A中元素的个数

    例1-65

    >> A=[1 2 3 4;5 6 7 8];

    >> n=numel(A)

    n =

         8

                                                                                                                                                            1.3  矩阵分解

    1.3.1  Cholesky分解

    函数  chol

    格式  R = chol(X)      %如果X为n阶对称正定矩阵,则存在一个实的非奇异上三角阵R,满足R'*R = X;若X非正定,则产生错误信息。

    [R,p] = chol(X)   %不产生任何错误信息,若X为正定阵,则p=0,R与上相同;若X非正定,则p为正整数,R是有序的上三角阵。

    例1-66 

    >> X=pascal(4)    %产生4阶pascal矩阵

    X =

         1     1     1     1

         1     2     3     4

         1     3     6    10

         1     4    10    20

    >> [R,p]=chol(X)

    R =

         1     1     1     1

         0     1     2     3

         0     0     1     3

         0     0     0     1

    p =

         0

    1.3.2  LU分解

    矩阵的三角分解又称LU分解,它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积,即A=LU。

    函数  lu

    格式  [L,U] = lu(X)     %U为上三角阵,L为下三角阵或其变换形式,满足LU=X。

    [L,U,P] = lu(X)   %U为上三角阵,L为下三角阵,P为单位矩阵的行变换矩阵,满足LU=PX。

    例1-67

    >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];

    >> [L,U]=lu(A)

    L =

       0.1429    1.0000         0

       0.5714    0.5000    1.0000

       1.0000         0         0

    U =

       7.0000    8.0000    9.0000

            0    0.8571    1.7143

            0         0    0.0000

    >> [L,U,P]=lu(A)

    L =

       1.0000         0         0

       0.1429    1.0000         0

       0.5714    0.5000    1.0000

    U =

       7.0000    8.0000    9.0000

            0    0.8571    1.7143

            0         0    0.0000

    P =

        0     0     1

        1     0     0

        0     1     0

    1.3.3  QR分解

    将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。

    函数  qr

    格式  [Q,R] = qr(A)     %求得正交矩阵Q和上三角阵R,Q和R满足A=QR。

    [Q,R,E] = qr(A)   %求得正交矩阵Q和上三角阵R,E为单位矩阵的变换形式,R的对角线元素按大小降序排列,满足AE=QR。

    [Q,R] = qr(A,0)    %产生矩阵A的“经济大小”分解

    [Q,R,E] = qr(A,0)  %E的作用是使得R的对角线元素降序,且Q*R=A(:, E)。

    R = qr(A)         %稀疏矩阵A的分解,只产生一个上三角阵R,满足R'*R = A'*A,这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。

    [C,R] = qr(A,b)    %用于稀疏最小二乘问题:minimize||Ax-b||的两步解:[C,R] = qr(A,b),x = R\c。

    R = qr(A,0)       %针对稀疏矩阵A的经济型分解

    [C,R] = qr(A,b,0)   %针对稀疏最小二乘问题的经济型分解

    例1-68 

    >>A =[ 1  2  3;4  5  6; 7  8  9; 10  11  12];

    >>[Q,R] = qr(A)

    Q =

       -0.0776    -0.8331     0.5444     0.0605

       -0.3105    -0.4512    -0.7709     0.3251

       -0.5433    -0.0694    -0.0913    -0.8317

       -0.7762     0.3124     0.3178     0.4461

    R =

       -12.8841    -14.5916    -16.2992

              0     -1.0413     -2.0826

              0           0      0.0000

              0           0           0

    函数  qrdelete

    格式  [Q,R] = qrdelete(Q,R,j)   %返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解

    例1-69

    >> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];

    >> [Q,R]=qr(A)

    Q =

       -0.2671   -0.7088    0.6529

        0.9625   -0.1621    0.2176

       -0.0484    0.6865    0.7255

    R =

      557.9418  187.0321  567.8424

             0    0.0741    3.4577

             0         0    0.1451

    >> [Q,R]=qrdelete(Q,R,3)    %将A的第3列去掉后进行qr分解。

    Q =

     -0.2671   -0.7088    0.6529

        0.9625   -0.1621    0.2176

       -0.0484    0.6865    0.7255

    R =

      557.9418  187.0321

             0    0.0741

             0         0

    函数  qrinsert

    格式  [Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x)   %在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数,表示在A的最后插入列x。

    例1-70

    >> A=[-149 -50 -154;537 180 546;-27 -9 -25];

    >> x=[35 10 7]';

    >> [Q,R]=qrinsert(Q,R,4,x)

    Q =

       -0.2671   -0.7088    0.6529

        0.9625   -0.1621    0.2176

       -0.0484    0.6865    0.7255

    R =

      557.9418  187.0321  567.8424   -0.0609

             0    0.0741    3.4577  -21.6229

             0         0    0.1451   30.1073

    1.3.4  Schur分解

    函数  schur

    格式  T = schur(A)      %产生schur矩阵T,即T的主对角线元素为特征值的三角阵。

    T = schur(A,flag)   %若A有复特征根,则flag='complex',否则flag='real'。

    [U,T] = schur(A,…)   %返回正交矩阵U和schur矩阵T,满足A = U*T*U'。

    例1-71 

    >> H = [ -149  -50  -154; 537  180  546; -27  -9  -25 ];

    >> [U,T]=schur(H)

    U =

        0.3162   -0.6529    0.6882

       -0.9487   -0.2176    0.2294

        0.0000    0.7255    0.6882

    T =

        1.0000   -7.1119 -815.8706

             0    2.0000  -55.0236

             0         0    3.0000

    1.3.5  实Schur分解转化成复Schur分解

    函数  rsf2csf

    格式  [U,T] = rsf2csf (U,T)   %将实舒尔形式转化成复舒尔形式

    例1-72 

    >> A=[1 1 1 3;1 2 1 1;1 1 3 1;-2 1 1 4];

    >> [u,t]=schur (A)

    u =

       -0.4916   -0.4900   -0.6331   -0.3428

       -0.4980    0.2403   -0.2325    0.8001

       -0.6751    0.4288    0.4230   -0.4260

       -0.2337   -0.7200    0.6052    0.2466

    t =

        4.8121    1.1972   -2.2273   -1.0067

             0    1.9202   -3.0485   -1.8381

             0    0.7129    1.9202    0.2566

             0         0         0    1.3474

    >> [U,T]=rsf2csf (u,t)

    U =

      -0.4916            -0.2756 - 0.4411i   0.2133 + 0.5699i  -0.3428         

      -0.4980            -0.1012 + 0.2163i  -0.1046 + 0.2093i   0.8001         

      -0.6751             0.1842 + 0.3860i  -0.1867 - 0.3808i  -0.4260         

      -0.2337             0.2635 - 0.6481i   0.3134 - 0.5448i   0.2466         

    T =

       4.8121            -0.9697 + 1.0778i  -0.5212 + 2.0051i  -1.0067         

            0             1.9202 + 1.4742i   2.3355             0.1117 + 1.6547i

            0                  0             1.9202 - 1.4742i   0.8002 + 0.2310i

            0                  0                  0             1.3474         

    1.3.6  特征值分解

    函数  eig

    格式  d = eig(A)         %求矩阵A的特征值d,以向量形式存放d。

    d = eig(A,B)       %A、B为方阵,求广义特征值d,以向量形式存放d。

    [V,D] = eig(A)      %计算A的特征值对角阵D和特征向量V,使AV=VD成立。

    [V,D] = eig(A,'nobalance')   %当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时,该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。

    [V,D] = eig(A,B)    %计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D,满足AV=BVD。

    [V,D] = eig(A,B,flag)   % 由flag指定算法计算特征值D和特征向量V,flag的可能值为:'chol' 表示对B使用Cholesky分解算法,这里A为对称Hermitian矩阵,B为正定阵。'qz' 表示使用QZ算法,这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。

    说明  一般特征值问题是求解方程: 解的问题。广义特征值问题是求方程: 解的问题。

    1.3.7  奇异值分解

    函数  svd

    格式  s = svd (X)          %返回矩阵X的奇异值向量

    [U,S,V] = svd (X)    %返回一个与X同大小的对角矩阵S,两个酉矩阵U和V,且满足= U*S*V'。若A为m×n阵,则U为m×m阵,V为n×n阵。奇异值在S的对角线上,非负且按降序排列。

    [U,S,V] = svd (X,0)   %得到一个“有效大小”的分解,只计算出矩阵U的前n列,矩阵S的大小为n×n。

    例1-73

    >> A=[1 2;3 4;5 6;7 8];

    >> [U,S,V]=svd(A)

    U =

       -0.1525   -0.8226   -0.3945   -0.3800

       -0.3499   -0.4214    0.2428    0.8007

       -0.5474   -0.0201    0.6979   -0.4614

       -0.7448    0.3812   -0.5462    0.0407

    S =

       14.2691         0

             0    0.6268

             0         0

             0         0

    V =

       -0.6414    0.7672

       -0.7672   -0.6414

    >> [U,S,V]=svd(A,0)

    U =

       -0.1525   -0.8226

       -0.3499   -0.4214

       -0.5474   -0.0201

       -0.7448    0.3812

    S =

       14.2691         0

             0    0.6268

    V =

       -0.6414    0.7672

       -0.7672   -0.6414

    1.3.8  广义奇异值分解

    函数  gsvd

    格式  [U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)   %返回酉矩阵U和V、一个普通方阵X、非负对角矩阵C和S,满足A = U*C*X',B = V*S*X',C'*C + S'*S = I (I为单位矩阵);A和B的列数必须相同,行数可以不同。

    [U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)   %含义与前面相似

    sigma = gsvd (A,B)         %返回广义奇异值sigma

    例1-74

    >> A=reshape(1:12,3,4)    %产生3行4列矩阵,元素由1,2,…,12构成。

    A =

      1     4     7    10

        2     5     8    11

        3     6     9    12

    >> B=magic(4)   %产生4阶魔方阵

    B =

        16     2     3    13

         5    11    10     8

         9     7     6    12

         4    14    15     1

    >> [U,V,X,C,S]=gsvd(A,B)

    U =

        0.4082    0.7071    0.5774

       -0.8165    0.0000    0.5774

        0.4082   -0.7071    0.5774

    V =

        0.2607   -0.7950   -0.5000    0.2236

       -0.4029    0.3710   -0.5000    0.6708

       -0.5452   -0.0530   -0.5000   -0.6708

        0.6874    0.4770   -0.5000   -0.2236

    X =

             0   -9.4340  -17.0587    3.4641

        1.8962    8.7980  -17.0587    8.6603

        3.7924    8.1620  -17.0587   13.8564

       -5.6885   -7.5260  -17.0587   19.0526

    C =

             0    0.0000         0         0

             0         0    0.0829         0

             0         0         0    1.0000

    S =

        1.0000         0         0         0

             0    1.0000         0         0

             0         0    0.9966         0

             0         0         0    0.0000

  • 相关阅读:
    2.12 使用@DataProvider
    2.11 webdriver中使用 FileUtils ()
    Xcode8 添加PCH文件
    The app icon set "AppIcon" has an unassigned child告警
    Launch Image
    iOS App图标和启动画面尺寸
    iPhone屏幕尺寸、分辨率及适配
    Xcode下载失败 使用已购项目页面再试一次
    could not find developer disk image
    NSDate与 NSString 、long long类型的相互转化
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/djcsch2001/p/2315152.html
Copyright © 2011-2022 走看看