「学习笔记」FFT x 字符串匹配

设匹配函数 (C(x,y)) 为字符 (x) 和字符 (y) 匹配的值，是我们自己定义的值。

两个字符串匹配的值就是对应位置上的字符匹配的值的和。

对于文本串 (S) 和模式串 (T)，现在要求出 (T) 在 (S) 中所有匹配的位置。

为了化成卷积的形式，把 (T) 反转。

这样 (T) 和 (S) 以 (i) 为结尾的子串的匹配值为：

[sum_{j=0}^{|T|-1}C(S_{i-j},T_j) ]

为了能够区分不同位置的匹配值，定义生成函数：(P(x))，([x^i]) 代表 (T) 与 (S) 以 (i) 结尾的子串的匹配值。

那么：

[P(x)=sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}C(S_{i-j},T_j) ]

为了能通过观察匹配值来确定两个字符串，构造匹配函数 (C(x,y)=(x-y)^2)（字符的权值需满足两两不同，可以使用 ASCII 码来作为权值），则两个字符串匹配当且仅当匹配值为 (0)．

那么：

[egin{aligned} P(x)&=sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}(S_{i-j}-T_j)^2 \ &=sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}{S_{i-j}}^2+{T_j}^2+S_{i-j}T_j \ &=sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}{S_{i-j}}^2+sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}{T_j}^2+sum_{i=|T|-1}^{|S|}sum_{j=0}^{|T|-1}S_{i-j}x^{i-j}T_jx^j end{aligned} ]

另外，为了使得边界满足卷积的形式，对于"溢出"的部分定义其权值为 (0)，也就是我们需要计算：

[sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}{S_{i-j}}^2+sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}{T_j}^2+sum_{i=|T|-1}^{|S|}sum_{j=0}^{i}S_{i-j}x^{i-j}T_jx^j ]

前两个柿子可以预处理前缀和来做到线性求出，后面是个卷积的形式，可以通过 FFT (mathcal{O}(nlog n)) 求出。

所以就可以 (mathcal{O}(nlog n)) 做到字符串匹配了。

栗题一 luoguP4173

带通配符的字符串匹配。

尝试构造匹配函数 (C(x,y)) 满足：

• (x) 或 (y) 为通配符时值为 (0)；

• (x) 和 (y) 都不为通配符，且相同时值为 (0)；

• (x) 和 (y) 都不为通配符，且不相同时值 (>0)．

设通配符的权值为 (0)，(C(x,y)=(x-y)^2xy)．

[egin{aligned} P(x)&=sum_{i=|T|-1}^{|S|}x^isum_{j=0}^{|T|-1}(S_{i-j}-T_j)^2S_{i-j}T_j \ &=S^3*T-2 imes S^2*T^2+S*T^3 end{aligned} ]

（这里的次方是点乘，(*) 为卷积）

三次卷积，时间复杂度 (mathcal{O}(nlog n))．

栗题二 Codeforces 528 D

分别仅考虑 (A,C,G,T)，把匹配成功的位置取个交集就可以。

现在仅考虑 (A)，把 (S) 中不会和 (A) 匹配上的位置上的字符设为 (o)，把 (T) 中不是 (A) 的字符设为 (#)，则匹配函数 (C(x,y)) （其中 (x) 来自 (S)，(y) 来自 (T)）要满足：

• (=0,x=A,y=A)；
• (=0,x=A,y=#)；
• (>0,x=o,y=A)；
• (=0,x=o,y=#)．

这样的 (C) 才能满足匹配成功值为 (0)，否则大于 (0)．

设：

• (S) 中的 (A) 值为 (0)，(o) 值为 (1)；

• (T) 中的 (A) 值为 (1)，(#) 值为 (0)；

• (C(x,y)=xy)．

对于每个字符只需要一次 FFT 就可以了。

Code