树状数组与离散化

https://vjudge.net/contest/262670#problem/B

线段树

https://vjudge.net/contest/230809#problem/T

题目链接。后面两题比较难。

add与sum操作的时间复杂度都是logn的，（和二分有点相似，在时间复杂度方面），如果预处理执行n次add操作的话就是nlogn的复杂度。

https://blog.csdn.net/qq_37685156/article/details/79822314

树状数组，乒乓球比赛类似于求逆序数，好像可以用归并法来做，训练之南上的

https://blog.csdn.net/lin375691011/article/details/21247409

二维树状数组

https://www.cnblogs.com/whatbeg/p/3970310.html

三维树状数组，如果是01取反的话，在1的基础上加1与-1是一样的。

二维区间修改的图。

 Matrix

 POJ - 2155

差分

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
int T,n,m,bit[1005][1005];
char s[10];
int sum(int a,int b) {
    int s = 0;
    for(int i=a;i>0;i-=i&-i)
        for(int j=b;j>0;j-=j&-j)
        s+=bit[i][j];
    return s;
}
void add(int a,int b) {
    for(int i=a;i<=n;i+=i&-i)
        for(int j=b;j<=n;j+=j&-j){
            bit[i][j]++;
        }
}
int main() {
    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(bit,0,sizeof(bit));
        while(m--) {
            scanf("%s",s);
            if(s[0]=='C'){
                int x1,y1,x2,y2;
                scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
                add(x2+1,y2+1);
                add(x1,y1);
                add(x1,y2+1);
                add(x2+1,y1);
            }
            else {
                int x,y;
                scanf("%d%d",&x,&y);
                printf("%d
",sum(x,y)%2);
            }
        }
        if(T) printf("
");
    }
    return 0;

}

https://blog.csdn.net/qq_39826163/article/details/89450013

【题意】

在一个面积不超过n*m的矩形上，有p个矩形A，问之后的q个矩形B能否被之前的A全部覆盖（每个B的点都在至少一个A中）。

【解题思路】

对于A类矩形(x1,y1,x2,y2)，我们只需要在(x1,y1),(x2+1,y2+1)处+1，在（x1,y2+1）(x2+1,y1)处-1。

之后对整个面积求一个前缀和。则大于0的地方就是被A类矩形覆盖的点。 把值大于0的地方变成1，再一次求一次前缀和，处理好后即可在O(1)的时间算出一个矩形内被覆盖的点的数量。

需要注意的是因为n*m<10^7，所以需要把二维转换成一维来做。
重点是把二维的树状数组转成一维的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1e7+500;
LL a[maxn],s[maxn];
int n,m,p,q;
int lowbit(int x)
{
    return (-x)&x;
}
void add(int x,int y,int z)
{
    int ty=y;
    while(x<=n)
    {
        y=ty;
        while(y<=m)
        {
            a[x*m+y]+=z;
            y+=lowbit(y);
        }
        x+=lowbit(x);
    }
}
LL query(int x,int y)
{
    LL sum=0;
    int ty=y;
    while(x)
    {
        y=ty;
        while(y)
        {
            sum+=a[x*m+y];
            y-=lowbit(y);
        }
        x-=lowbit(x);
    }
    return sum;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(s,0,sizeof(s));
         int x1,y1,x2,y2;
         scanf("%d",&p);
         while(p--)
         {
             scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
             add(x1,y1,1);
             add(x1,y2+1,-1);
             add(x2+1,y1,-1);
             add(x2+1,y2+1,1);
         }
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
             for(int j=1;j<=m;j++)
             {
                 int t=query(i,j);
                 if(t>0)s[i*m+j]=1;
                 else s[i*m+j]=0;
             }
         }
         for(int i=1;i<=n;i++)
         {
             for(int j=1;j<=m;j++)
                s[i*m+j]+=s[(i-1)*m+j]+s[i*m+j-1]-s[(i-1)*m+j-1];
         }
         scanf("%d",&q);
         while(q--)
         {
             scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
             LL t1=(x2-x1+1)*(y2-y1+1);
             LL t2=s[x2*m+y2]+s[(x1-1)*m+y1-1]-s[(x1-1)*m+y2]-s[x2*m+y1-1];
             if(t1==t2)printf("YES
");
             else printf("NO
");
 
         }
    }
}

https://wenku.baidu.com/view/402b20d0162ded630b1c59eef8c75fbfc67d9479.html

浅谈信息学竞赛中的0和1.

https://blog.csdn.net/getsum/article/details/51316927

一个异或的题。

https://blog.csdn.net/qq_39562952/article/details/81298043

区间更新与区间查询。

https://blog.csdn.net/weizhuwyzc000/article/details/45442815/

二维的区间更新，与一维有点不同。

查找第几个比i大的值可以用二分。注意判断某一位是否为零必须是sum[i] - sum[i - 1] == 0 而不是直接判那一位是否为零，因为bit[i]指的是他管辖的范围内的值得总和。

注意当给一个矩形对角线坐标时，要判大小，小的放在一起，大的放在一起（可能会要换一条对角线，为了让二维树状数组好算）。

一般为了防止为零都会加一。

有时候要把sum的值用long long 存。

离散化后add是就是n，没离散化就是maxm.

用二分的时候范围记得搞大点。

1.预处理，输入并离散化处理 

void init()
{
for(int i=1;i<=n;i++)//输入n个数（1-n） 
{
scanf("%d",&d[i].v);
d[i].ord=i;
}
sort(d+1,d+n+1,cmp1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
b[d[i].ord]=i;
}

}

 成对数据离散化

struct node {
ll x, y, xx, yy;
} p[maxm];

sort(p + 1, p + 1 + n, comp1);
    p[1].x = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(p[i].xx == p[i - 1].xx) {
            p[i].x = p[i - 1].x;
        }
        else p[i].x = i;
    }
    sort(p + 1, p + n + 1, comp2);
    p[1].y = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(p[i].yy == p[i - 1].yy) {
            p[i].y = p[i - 1].y;
        }
        else p[i].y = i;
    }

离散化处理。

2.一维前缀和与改变值

int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int i, int x) {
while(i <= 32005) {//如果离散化的话就是n,没离散化就是maxm.
    bit[i] += x;
    i += lowbit(i);
}
}
int sum(int i) {
int s = 0;
while(i > 0) {
    s += bit[i];
    i -= i & -i;
}
return s;

}
//注意先sum后add或者先add后sum.

3.二维

 Mobile phones

 POJ - 1195 

 

int lowbit(int x) {

return x & -x;
}
void add(int x, int y, int a) {
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
    for(int j = y; j <= n; j += lowbit(j)) {
        bit[i][j] += a;
    }
}
}
int sum(int x, int y) {
int s = 0;
for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
    for(int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)) {
        s += bit[i][j];
    }
}
return s;
}


sum(l2, r2) + sum(l1 - 1, r1 - 1) - sum(l2, r1 - 1) - sum(l1 - 1, r2)//一个矩形

 三维线状数组

int c[maxn][maxn][maxn];
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}
void add(int x,int y,int z, int a) {
    for(int i=x;i<=maxn;i+=lowbit(i)) {
        for(int j=y;j<=maxn;j+=lowbit(j)) {
            for(int k=z;k<=maxn;k+=lowbit(k)) {
                c[i][j][k] += a;
            }
        }
    }
}
int getsum(int x,int y,int z) {
    int sum=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) {
        for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j)) {
            for(int k=z;k>0;k-=lowbit(k)) {
                sum+=c[i][j][k];
            }
        }
    }
    return sum;
}

树状数组求区间最大值模板

专题结束在补

https://vjudge.net/contest/293001#problem/H  Gym - 100971H

Description
一个人想邀请k个朋友来做客，给第i个朋友打电话他会告诉一个[ai,bi]表示包括这个人自己在内有ai到bi个人去这个人就会去，每次打电话都是从第一个朋友开始按顺序打，叫够k个人就不打电话了，问对1~n中每个k要打多少个电话恰能邀请到k个人
Input
第一行一整数n表示朋友数量，之后n行两个整数ai和bi表示该朋友去做客对人数的要求(1<=n<=2e5,1<=ai<=bi<=n)
Output
输出n个数表示k从1取到n时至少需要打多少电话才能叫到k个人，如果给n个人打电话后也叫不齐k个人则输出-1
Sample Input
6
3 3
1 2
3 6
3 4
1 4
4 6
Sample Output
2 5 4 6 -1 -1
解法 ：树状数组，按区间值来排序，有点类似于差分，当邀一人时，就把所有可以为一的加到bit上去，两人时就接着邀。然后二分找值。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxm = 2e5 + 5;
int bit[maxm];
int n;
int res[maxm];
struct Node {
    int ind, v, flag;
    bool operator < (const Node &a) const {
        return v < a.v;
    }
    Node(int ind = 0, int v = 0, int flag = 0) : ind(ind), v(v), flag(flag) {};
}node[maxm * 2];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int val) {
    while(x <= n) {
        bit[x] += val;
        x += lowbit(x);
    }
}

int sum(int x) {
    int s = 0;
    while(x > 0) {
        s += bit[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return s;
}


int main() {
    scanf("%d", &n);
    int ql, qr;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &ql, &qr);
        node[2 * i - 1] = Node(i, ql, 1);
        node[2 * i] = Node(i, qr + 1, -1);
    }
    sort(node + 1, node + 2 * n + 1);
    int r = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        while(r <= 2 * n && node[r].v <= i) {
            add(node[r].ind, node[r].flag);
            r++;
        }
        int ml = 1, mr = n, ans = n + 1, mid;
        while(ml <= mr) {
            mid = (ml + mr) >> 1;
            if(sum(mid) >= i) {
                if(sum(mid) == i) {
                    ans = min(ans, mid);
                }
                mr = mid - 1;
            }
            else {
                ml = mid + 1;
            }
        }
        res[i] = (ans == n + 1) ? -1 : ans;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        printf("%d%c", res[i], i == n ? '
' : ' ');
    }
    return 0;
}

Cows

 POJ - 2481这个在排序的时候要注意一下。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int bit[100005], n, res[100005];
struct node{
int l, r, index;
} p[100005];

int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int i, int x) {
while(i <= 100005) {
    bit[i] += x;
    i += lowbit(i);
}
}
int sum(int i) {
int s = 0;
while(i > 0) {
    s += bit[i];
    i -= lowbit(i);
}
return s;
}
int comp(node p1, node p2) {

if(p1.r == p2.r) return p1.l < p2.l;
return p1.r > p2.r;
}
int main() {
while(~scanf("%d", &n) && n) {
    memset(res, 0, sizeof(res));
    memset(bit, 0, sizeof(bit));
    for(int i  = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d%d", &p[i].l, &p[i].r);
        p[i].l++;
        p[i].r++;
        p[i].index = i;
    }
    sort(p + 1, p + 1 + n, comp);
    res[  p[1].index ] = 0;
    add(p[1].l, 1);
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        if(p[i].l == p[i - 1].l && p[i].r == p[i - 1].r) { //如果区间相等
            res[ p[i].index ] = res[ p[i - 1].index ];
        }
        else {
            res[ p[i].index ] = sum(p[i].l);
        }
        add(p[i].l, 1);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(i == 1) {
            printf("%d", res[1]);
        }
        else printf(" %d", res[i]);
    }
    printf("
");
}


return 0;
}

Apple Tree

 POJ - 3321  涉及到dfs序的一道题目

https://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3236843.html

dfs序两个数组记录的是他子树节点的最大值与最小值。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxm = 1e5 + 5;
int bit[maxm], in[maxm], out[maxm], n, m, fork[maxm], ans;

vector< vector<int> >edge(maxm);

int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
int sum(int i) {

int s = 0;
while(i > 0) {
        s += bit[i];
        i -= lowbit(i);


}
return s;
}
void add(int i, int x) {
while(i <= maxm) {
    bit[i] += x;
    i += lowbit(i);
}

}
void dfs(int u) {
    in[u] = ans;
    for(int i = 0; i < edge[u].size(); i++) {
        ans++;
        dfs(edge[u][i]);
    }
    out[u] = ans;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
int a = 0, b = 0;
ans = 1;
for(int i = 1; i < n; i++) {
    scanf("%d%d", &a, &b);
    edge[a].push_back(b);
}
for(int i = 1; i <= n; i++) {
    fork[i] = 1;
    add(i, 1);
}
dfs(1);
scanf("%d", &m);
for(int i = 0; i < m; i++) {
    char ch[3];
    int t = 0;
    scanf("%s", ch);
    scanf("%d", &t);
    if(ch[0] == 'Q') {
        printf("%d
", sum(out[t]) - sum(in[t] - 1));
    }
    else {
        if(fork[t]) {
            add(in[t], -1);
        }
        else {
            add(in[t], 1);
        }
        fork[t] = !fork[t];

    }
}



return 0;
}

 MooFest

 POJ - 1990 好题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long int64;
const int MAXN = 20010;

struct Node{
    int x;
    int v;
};
Node node[MAXN];
int n;
int treeCount[MAXN];
int treeDis[MAXN];

int comp(Node n1, Node n2) {
return n1.v < n2.v;
}
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

int64 getSum(int x , int arr[]){
    int64 sum = 0;
    while(x){
         sum += arr[x];
         x -= lowbit(x);
    }
    return sum;
}

void add(int x , int val , int arr[]){
    while(x <= MAXN){
         arr[x] += val;
         x += lowbit(x);
    }
}

int64 solve(){
    int64 ans = 0;
    int64 totalDis = 0;
    memset(treeCount , 0 , sizeof(treeCount));
    memset(treeDis , 0 , sizeof(treeDis));
    sort(node + 1 , node+n + 1, comp);

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        int64 count = getSum(node[i].x , treeCount);
        int64 dis = getSum(node[i].x , treeDis);
        // left
        ans += node[i].v*(count*node[i].x-dis);
        // right
        ans += node[i].v*(getSum(MAXN, treeDis)-dis-(i - 1-count)*node[i].x);
        // update
        totalDis += node[i].x;
        add(node[i].x , 1 , treeCount);
        add(node[i].x , node[i].x , treeDis);
    }
    return ans;
}

int main(){
    while(scanf("%d" , &n) != EOF){
         for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
             scanf("%d%d" , &node[i].v , &node[i].x);
         printf("%lld
" , solve());
    }
    return 0;
}

KiKi's K-Number

 HDU - 2852 涉及二分，好题

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm = 1e5 + 5;
int n, T, x, a, b;
ll bit1[maxm], bit2[maxm];

int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
ll sum(int i, ll a[]) {
ll s = 0;
while(i) {
    s += a[i];
    i -= lowbit(i);
}
return s;
}
void add(int i, int x, ll a[]) {
while(i <= maxm) {
    a[i] += x;
    i += lowbit(i);
}

}

int main() {
while(~scanf("%d", &T)) {
    memset(bit1, 0, sizeof(bit1));
//    res = 0;
    for(int i = 1; i <= T; i++) {
        scanf("%d", &n);
        if(n == 0) {
            scanf("%d", &a);
            add(a, 1, bit1);
//            printf("%d
", sum(maxm, bit1));
        }
        else if(n == 1) {
            scanf("%d", &a);
            if(sum(a, bit1) - sum(a - 1, bit1) == 0) {
                printf("No Elment!
");
            }
            else {
                add(a, -1, bit1);
            }
        }
        else {
            scanf("%d%d", &a, &b);
            if(sum(maxm, bit1) - sum(a, bit1) < b) {
                printf("Not Find!
");
            }
            else {
                int l = a, r = maxm + 1, res = 0, pp = a;;
                while(l <= r) {
                    int mid = (l + r) / 2;
//                    printf("%d
", mid);
                    if(sum(mid, bit1) - sum(pp, bit1) >= b){
                        r = mid - 1;
                        res = mid;
//                        printf("%d
", sum(mid, bit1));
                    }
                    else {
                        l = mid + 1;
                    }
                }
                printf("%d
", res);
            }
        }
    }
}
return 0;

}

 Necklace

 HDU - 3874 线段树离线操作

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn = 1e6+10;
typedef long long LL;
int a[50000+10];
LL ans[200000+10];
LL s[maxn];
int last[maxn];//记录值的位置
int n,m;
struct ss{
    int x,y,z;
    bool operator < (const ss &p){
    return y<p.y;
}
}q[200000+10];

int lowbit(int x){
    return x&-x;
}

void add(int x, int v){
    while(x<=n){
        s[x] += v;
        x += lowbit(x);
    }
}

LL sum(int x){
    LL ans = 0;
    while(x>0){
        ans += s[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        memset(s,0,sizeof(s));
        memset(last,0,sizeof(last));
        scanf("%d", &n);
        for(int  i = 1; i <= n; ++i){
            scanf("%d",&a[i]);
            add(i,a[i]);
            if(!last[a[i]])
                last[a[i]] = i;//初始化每个值第一次出现的位置
        }scanf("%d", &m);
        for(int i = 1; i <= m; ++i){
            scanf("%d %d", &q[i].x, &q[i].y);
            q[i].z = i;
        }sort(q + 1, q + 1 + m);
        int l = 1;
        for(int i = 1; i <= m; ++i){
            for(int j = l; j <= q[i].y ;++j)
            if(last[a[j]] != j){//如果值不在当前位置,那么就删去
                add(last[a[j]], -a[j]);
                last[a[j]] = j;//更新值为当前位置
            }
            l = q[i].y;
             ans[q[i].z] = sum(q[i].y) - sum(q[i].x - 1);
        }
        for(int i = 1; i <= m; ++i)
            printf("%lld
",ans[i]);
    }
    return 0;
}

1：单点修改：

void update(int x,int v)//单点修改(x节点加上v)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        c[i]+=v;
}

2：前缀和:

int sum(int x)//sum[1,x]
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans+=c[i];
    return ans;
}

3:区间修改，单点求值（差分思想）

int solve(int l,int r,int v,int x)//[l,r]区间同时加上v，同时求x节点值（这时转化为求前缀和）
{
    c[l]+=v;
    c[r+1]-=v;
    return sum(x);
}

4：区间修改，区间求和（差分思想，辅助数组）

int solve(int l,int r,int v)//[l,r]同时增加v,同时求得[l,r]区间和
{
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        update(diff,i,a[i]-a[i-1]);
        update(aux,i,(i-1)*(a[i]-a[i-1]));
    }
    l--;
    int sumr=r*sum(diff,r)-sum(aux,r);
    int suml=l*sum(diff,l)-sum(aux,l);
    return sumr-suml;
}

5：区间最大最小值

void update(int x)//更改节点值
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)){//将所有x能影响到的节点更新
        h[i]=a[i];//首先取原数组值
        for(int j=1;j<lowbit(i);j<<=1){//在子节点中寻求最优值
            h[i]=max(h[i],h[i-j]);
        }
    }
}
int querymax(int l,int r)//区间最大值
{
    int ans=0;
    while(r>=l){
        for(;r-lowbit(r)>=l;r-=lowbit(r))//找到该节点所示的区间包含于[x,y]，可直接取根节点最优值
            ans=max(ans,h[r]);
        ans=max(ans,a[r]);//取当前区间右端点，下一步进行[x,y-1]区间寻找
        r--;
    }
    return ans;
}

 6:二维树状数组

void update(int x,int y,int v)//[x,y]值更新
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
            c[i][j]+=v;
}
int sum(int x,int y)//[1,1]到[x,y]子矩阵前缀和
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
        for(int j=y;j>=1;j-=lowbit(j))
            ans+=c[i][j];
    return ans;
}
int solve(int x1,int y1,int x2,int y2)//求该子矩阵区间和
{   
    return sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1);
}