Q1. 在回归模型中，下列哪一项在权衡欠拟合（under-fitting）和过拟合（over-fitting）中影响最大？¶
A. 多项式阶数
B. 更新权重 w 时，使用的是矩阵求逆还是梯度下降
C. 使用常数项
答案：A
解析：选择合适的多项式阶数非常重要。如果阶数过大，模型就会更加复杂，容易发生过拟合；如果阶数较小，模型就会过于简单，容易发生欠拟合。如果有对过拟合和欠拟合概念不清楚的，见下图所示：
Q2. 假设你有以下数据：输入和输出都只有一个变量。使用线性回归模型（y=wx+b）来拟合数据。那么使用留一法（Leave-One Out）交叉验证得到的均方误差是多少？
A. 10/27
B. 39/27
C. 49/27
D. 55/27
答案：C
解析：留一法，简单来说就是假设有 N 个样本，将每一个样本作为测试样本，其它 N-1 个样本作为训练样本。这样得到 N 个分类器，N 个测试结果。用这 N个结果的平均值来衡量模型的性能。
对于该题，我们先画出 3 个样本点的坐标：
使用两个点进行线性拟合，分成三种情况，如下图所示：
第一种情况下，回归模型是 y = 2，误差 E1 = 1。
第二种情况下，回归模型是 y = -x + 4，误差 E2 = 2。
第三种情况下，回归模型是 y = -1/3x + 2,误差 E3 = 2/3。
则总的均方误差为：
MSE=13(E21+E22+E23=13[12+22+(23)])MSE=13(E12+E22+E32=13[12+22+(23)])
Q3. 下列关于极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate，MLE），说法正确的是（多选）？
A. MLE 可能并不存在
B. MLE 总是存在
C. 如果 MLE 存在，那么它的解可能不是唯一的
D. 如果 MLE 存在，那么它的解一定是唯一的
答案：AC
解析：如果极大似然函数 L(θ) 在极大值处不连续，一阶导数不存在，则 MLE 不存在，如下图所示：
另一种情况是 MLE 并不唯一，极大值对应两个 θ。如下图所示：
Q4. 如果我们说“线性回归”模型完美地拟合了训练样本（训练样本误差为零），则下面哪个说法是正确的？
A. 测试样本误差始终为零
B. 测试样本误差不可能为零
C. 以上答案都不对
答案：C
解析：根据训练样本误差为零，无法推断测试样本误差是否为零。值得一提是，如果测试样本样本很大，则很可能发生过拟合，模型不具备很好的泛化能力！
Q5. 在一个线性回归问题中，我们使用 R 平方（R-Squared）来判断拟合度。此时，如果增加一个特征，模型不变，则下面说法正确的是？
A. 如果 R-Squared 增加，则这个特征有意义
B. 如果R-Squared 减小，则这个特征没有意义
C. 仅看 R-Squared 单一变量，无法确定这个特征是否有意义。
D. 以上说法都不对
答案：C
解析：线性回归问题中，R-Squared 是用来衡量回归方程与真实样本输出之间的相似程度。其表达式如下所示：
R2=1−∑(y−^y)2∑(y−¯¯¯y)2R2=1−∑(y−y^)2∑(y−y¯)2
上式中，分子部分表示真实值与预测值的平方差之和，类似于均方差 MSE；分母部分表示真实值与均值的平方差之和，类似于方差 Var。根据 R-Squared 的取值，来判断模型的好坏：如果结果是 0，说明模型拟合效果很差；如果结果是 1，说明模型无错误。一般来说，R-Squared 越大，表示模型拟合效果越好。R-Squared 反映的是大概有多准，因为，随着样本数量的增加，R-Square必然增加，无法真正定量说明准确程度，只能大概定量。
对于本题来说，单独看 R-Squared，并不能推断出增加的特征是否有意义。通常来说，增加一个特征，R-Squared 可能变大也可能保持不变，两者不一定呈正相关。
如果使用校正决定系数（Adjusted R-Square）：
R2−adjusted=1−(1−R2)(n−1)n−p−1R2−adjusted=1−(1−R2)(n−1)n−p−1
其中，n 是样本数量，p 是特征数量。Adjusted R-Square 抵消样本数量对 R-Square的影响，做到了真正的 0~1，越大越好。
Q6. 下列关于线性回归分析中的残差（Residuals）说法正确的是？
A. 残差均值总是为零
B. 残差均值总是小于零
C. 残差均值总是大于零
D. 以上说法都不对
答案：A
解析：线性回归分析中，目标是残差最小化。残差平方和是关于参数的函数，为了求残差极小值，令残差关于参数的偏导数为零，会得到残差和为零，即残差均值为零。
Q7. 下列关于异方差（Heteroskedasticity）说法正确的是？
A. 线性回归具有不同的误差项
B. 线性回归具有相同的误差项
C. 线性回归误差项为零
D. 以上说法都不对
答案：A
解析：异方差性是相对于同方差（Homoskedasticity）而言的。所谓同方差，是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同的方差，则称线性回归模型存在异方差性。
通常来说，奇异值的出现会导致异方差性增大。
Q8. 下列哪一项能反映出 X 和 Y 之间的强相关性？
A. 相关系数为 0.9
B. 对于无效假设 β=0 的 p 值为 0.0001
C. 对于无效假设 β=0 的 t 值为 30
D. 以上说法都不对
答案：A
解析：相关系数的概念我们很熟悉，它反映了不同变量之间线性相关程度，一般用 r 表示。
r(X,Y)=Cov(X,Y)√Var[X]Var[Y]r(X,Y)=Cov(X,Y)Var[X]Var[Y]
其中，Cov(X,Y) 为 X 与 Y 的协方差，Var[X] 为 X 的方差，Var[Y] 为 Y 的方差。r 取值范围在 [-1,1] 之间，r 越大表示相关程度越高。A 选项中，r=0.9 表示 X 和 Y 之间有较强的相关性。
而 p 和 t 的数值大小没有统计意义，只是将其与某一个阈值进行比对,以得到二选一的结论。例如，有两个假设：
- 无效假设（null hypothesis）H0：两参量间不存在“线性”相关。
- 备择假设（alternative hypothesis）H1：两参量间存在“线性”相关。
如果阈值是 0.05，计算出的 p 值很小，比如为 0.001，则可以说“有非常显著的证据拒绝 H0 假设,相信 H1 假设。即两参量间存在“线性”相关。p 值只用于二值化判断，因此不能说 p=0.06 一定比 p=0.07 更好。
Q9. 下列哪些假设是我们推导线性回归参数时遵循的（多选）？
A. X 与 Y 有线性关系（多项式关系）
B. 模型误差在统计学上是独立的
C. 误差一般服从 0 均值和固定标准差的正态分布
D. X 是非随机且测量没有误差的
答案：ABCD
解析：在进行线性回归推导和分析时，我们已经默认上述四个条件是成立的。
Q10. 为了观察测试 Y 与 X 之间的线性关系，X 是连续变量，使用下列哪种图形比较适合？
A. 散点图
B. 柱形图
C. 直方图
D. 以上都不对
答案：A
解析：散点图反映了两个变量之间的相互关系，在测试 Y 与 X 之间的线性关系时，使用散点图最为直观。
Q11. 一般来说，下列哪种方法常用来预测连续独立变量？
A. 线性回归
B. 逻辑回顾
C. 线性回归和逻辑回归都行
D. 以上说法都不对
答案：A
解析：线性回归一般用于实数预测，逻辑回归一般用于分类问题。
Q12. 个人健康和年龄的相关系数是 -1.09。根据这个你可以告诉医生哪个结论？
A. 年龄是健康程度很好的预测器
B. 年龄是健康程度很糟的预测器
C. 以上说法都不对
答案：C
解析：因为相关系数的范围是 [-1,1] 之间，所以，-1.09 不可能存在。
Q13. 下列哪一种偏移，是我们在最小二乘直线拟合的情况下使用的？图中横坐标是输入 X，纵坐标是输出 Y。
A. 垂直偏移（vertical offsets）
B. 垂向偏移（perpendicular offsets）
C. 两种偏移都可以
D. 以上说法都不对
答案：A
解析：线性回归模型计算损失函数，例如均方差损失函数时，使用的都是 vertical offsets。perpendicular offsets 一般用于主成分分析（PCA）中。
Q14. 假如我们利用 Y 是 X 的 3 阶多项式产生一些数据（3 阶多项式能很好地拟合数据）。那么，下列说法正确的是（多选）？
A. 简单的线性回归容易造成高偏差（bias）、低方差（variance）
B. 简单的线性回归容易造成低偏差（bias）、高方差（variance）
C. 3 阶多项式拟合会造成低偏差（bias）、高方差（variance）
D. 3 阶多项式拟合具备低偏差（bias）、低方差（variance）
答案：AD
解析：偏差和方差是两个相对的概念，就像欠拟合和过拟合一样。如果模型过于简单，通常会造成欠拟合，伴随着高偏差、低方差；如果模型过于复杂，通常会造成过拟合，伴随着低偏差、高方差。
用一张图来形象地表示偏差与方差的关系：
偏差（bias）可以看成模型预测与真实样本的差距，想要得到 low bias，就得复杂化模型，但是容易造成过拟合。方差（variance）可以看成模型在测试集上的表现，想要得到 low variance，就得简化模型，但是容易造成欠拟合。实际应用中，偏差和方差是需要权衡的。若模型在训练样本和测试集上都表现的不错，偏差和方差都会比较小，这也是模型比较理想的情况。
Q15. 假如你在训练一个线性回归模型，有下面两句话：
- 如果数据量较少，容易发生过拟合。
- 如果假设空间较小，容易发生过拟合。
关于这两句话，下列说法正确的是？
A. 1 和 2 都错误
B. 1 正确，2 错Ω
C. 1 错误，2 正确
D. 1 和 2 都正确
答案：B
解析：先来看第 1 句话，如果数据量较少，容易在假设空间找到一个模型对训练样本的拟合度很好，容易造成过拟合，该模型不具备良好的泛化能力。
再来看第 2 句话，如果假设空间较小，包含的可能的模型就比较少，也就不太可能找到一个模型能够对样本拟合得很好，容易造成高偏差、低方差，即欠拟合。
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