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DP：LCS（最长公共子串、最长公共子序列）

1. 两者区别

约定：在本文中用 LCStr 表示最长公共子串（Longest Common Substring），LCSeq 表示最长公共子序列（Longest Common Subsequence）。

子串要求在原字符串中是连续的，而子序列则没有要求。例如：

字符串 s1=abcde，s2=ade，则 LCStr=de，LCSeq=ade。

2. 求最长公共子串（LCStr）

算法描述：构建如下图的矩阵dp[][]，当s1[i] == s2[j] 的时候，dp[i][j]=1；最后矩阵中斜对角线上最长的“1”序列的长度，就是 LCStr 的长度。

但是求矩阵里斜线上的最长的“1”序列，仍然略显麻烦，我们进行如下优化：当要往矩阵中填“1”的时候，我们不直接填“1”，而是填“1”+左上角的那个数。如下图所示：

这样，我们只需求出矩阵里的最大数（注意：最大数可不一定在最右下角，别误解了上图），即是 LCStr 的长度。

要求出这个 LCStr，其他的不多说了，见代码中注释。

C++ code：

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 #include <cstdlib>         // freopen
 4 #include <cstring>         // memset
 5 using namespace std;
 6 
 7 #define MAXN 2001
 8 static int dp[MAXN][MAXN];
 9 
10 string LCStr(const string &s1, const string &s2)
11 {
12     string result;
13      
14     //s1纵向，s2横向
15     //len1行，len2列 
16     int len1=s1.length(), len2=s2.length();
17     memset(dp,0,sizeof(dp));
18     
19     //预先处理第一行第一列 
20     for(int i=0; i<len2; ++i)
21         if(s1[0]==s2[i]) dp[0][i]=1;
22     for(int i=0; i<len1; ++i)
23         if(s1[i]==s2[0]) dp[i][0]=1;
24     
25     for(int i=1; i<len1; ++i)
26     for(int j=1; j<len2; ++j)
27         if(s1[i]==s2[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;    //矩阵填充 
28     
29     //将第一行的最大值移到最右边 
30     for(int i=1; i<len2; ++i)
31         if(dp[0][i]<dp[0][i-1]) dp[0][i]=dp[0][i-1];
32     
33     //从第二行开始，将每一行的最大值移到最右边
34     //最后边的数和上一行的最右边数比较大小，将大的下移
35     //到最后，右下角的数就是整个矩阵的最大值 
36     for(int i=1; i<len1; ++i)
37     {
38         for(int j=1; j<len2; ++j)
39             if(dp[i][j]<dp[i][j-1]) dp[i][j]=dp[i][j-1];
40         if(dp[i][len2-1]<dp[i-1][len2-1]) dp[i][len2-1]=dp[i-1][len2-1];
41     }
42     cout<<"length of LCStr: "<<dp[len1-1][len2-1]<<endl;
43     
44     int max = dp[len1-1][len2-1];
45     int pos_x;
46     for(int i=0; i<len1; ++i)
47     for(int j=0; j<len2; ++j)
48     {
49         if(dp[i][j]==max)
50         {
51             pos_x=i;
52             j=len2;    ///
53             i=len1;    ///快速跳出循环 
54         }
55     }
56     result=s1.substr(pos_x-max+1,max);
57     return result;
58 }
59 
60 int main()
61 {
62     int t;
63     freopen("in.txt","r",stdin);
64     cin>>t;
65     cout<<"total tests: "<<t<<endl<<endl;
66     while(t--)
67     {
68         string a,b;
69         cin>>a>>b;
70         cout<<a<<endl<<b<<endl;
71         
72         string res=LCStr(a,b);
73         cout<<"LCStr: "<<res<<endl<<endl;
74     }
75     return 0;
76 }

View Code

运行：

输入：

5
abcde
ade
flymouseEnglishpoor
comeonflymouseinenglish
BCXCADFESBABCACA
ABCACADF
programming
contest
123454567811267234678392
1457890567809713265738

输出：

3. 最长公共子序列（LCSeq）

算法描述：

矩阵最后的 dp[i][j] 就是 LCSeq 的长度。

为了把 LCSeq 求出来，我们在给每一个 dp[i][j] 赋值的时候，需要记住这个值来自于哪里。是来自于左上角（LEFTUP），还是上边（UP），还是左边（LEFT）。然后从矩阵最后一个元素回溯，就能找出 LCSeq。如下图：

当 dp[i-1][j]==dp[i][j-1]，即左边的元素等于上边的元素时，我取上边的元素。（取左边的也行，并不影响程序结果。但在整个代码中要统一规则）。

C++ code：

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 #include <cstring>        //memset
 4 #include <algorithm>    //reverse
 5 #define LEFTUP     0
 6 #define UP        1
 7 #define LEFT    2
 8 #define MAXN 2001
 9 using namespace std;
10 
11 //s1纵向，s2横向
12 int dp[MAXN][MAXN];
13 short path[MAXN][MAXN];
14 string LCSeq(const string &s1, const string &s2)
15 {
16     int len1=s1.length(), len2=s2.length();
17     string result="";
18         
19     //将dp[][]和path[][]的首行首列清零 
20     for(int j=0; j<=len2; ++j)
21         {dp[0][j]=0; path[0][j]=0;}
22     for(int i=0; i<=len1; ++i)
23         {dp[i][0]=0; path[i][0]=0;}
24     //以上代码用 memset 也行 
25     //memset(dp,0,sizeof(dp));
26     //memset(path,0,sizeof(path));
27         
28     for(int i=1; i<=len1; ++i)
29     {
30         for(int j=1; j<=len2; ++j)
31         {
32             if(s1[i-1]==s2[j-1])
33             {
34                 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
35                 path[i][j]=LEFTUP;
36             }
37             else if(dp[i-1][j]>dp[i][j-1])    //up>=left 这里是用 > 还是 >= ，当LCS不唯一时，对结果有影响，但长度一样 
38             {
39                 dp[i][j]=dp[i-1][j];
40                 path[i][j]=UP;
41             }
42             else
43             {
44                 dp[i][j]=dp[i][j-1];
45                 path[i][j]=LEFT;
46             }
47         }
48     } //矩阵填充完成 
49     cout<<"length of LCSeq: "<<dp[len1][len2]<<endl;
50     
51     int i=len1, j=len2;
52     while(i>0 && j>0)
53     {
54         if(path[i][j]==LEFTUP)
55         {
56             result+=s1[i-1];
57             i--;
58             j--;
59         }
60         else if(path[i][j]==UP) i--;
61         else if(path[i][j]==LEFT) j--;
62     }
63     reverse(result.begin(), result.end());
64     return result;
65 }
66 
67 int main()
68 {
69     int t;
70     freopen("in.txt", "r", stdin);
71     //freopen("out.txt", "w", stdout);
72     cin>>t;
73     cout<<"total tests: "<<t<<endl<<endl;
74     while(t--)
75     {
76         string s1,s2;
77         cin>>s1>>s2;
78         cout<<s1<<endl<<s2<<endl;
79         
80         string res=LCSeq(s1,s2);
81         cout<<"LCSeq: "<<res<<endl<<endl;
82         
83     }
84     return 0;    
85 }        
86                 
87