P2260 [清华集训2012]模积和 【整除分块】

一、题目

　　P2260 [清华集训2012]模积和

二、分析

　　参考文章：click here

　　具体的公式推导可以看参考文章。博主的证明很详细。

　　自己在写的时候问题不在公式推导，公式还是能够比较顺利的推导出来，但是，码力不够，比如说在乘积的时候，因为输入时候的$n$和$m$没有注意，一直用的$int$类型的，导致中间结果早就爆了，自己却浑然不知。

　　还有一个细节就是题目给的模数不是质数，所以求逆元的时候需要使用扩展欧几里得进行求解逆元。　　

三、AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define Min(a,b) ((a)>(b)?(b):(a))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
const int mod = 19940417;
const int inv = 3323403;

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    else
    {
        ll x1, y1;
        exgcd(b, a % b, x1, y1);
        x = y1;
        y = x1 - (a / b) * y1;
    }
}

ll solve(ll n)
{
    ll ans = (n % mod * n % mod) % mod;
    ll L = 1, R;
    for(L; L <= n; L = R + 1)
    {
        int k = n / L;
        if(!k)
        {
            R = n;
        }
        else
        {
            R = n / k;
        }
        ans = (ans - (R - L + 1) * (L + R) / 2 % mod * k % mod + mod) % mod;
    }
    return ans;
}

ll get(ll n)
{
    return n * (n + 1) % mod * (n<<1|1) % mod * inv % mod;
}

int main()
{
    //exgcd(6, mod, x, y);  //x就是6在mod下的逆元
    ll n, m;
    cin >> n >> m;
    ll ans1, ans2, ans3, ans = solve(n) * solve(m) % mod;
    if(n < m) swap(n, m);
    ll L, R;
    for(L = 1; L <= m; L = R + 1)
    {
        R = Min(n/(n/L), m/(m/L));
        ans1 = (n*m % mod *(R - L + 1)) % mod;
        ans2 = ((n/L) * m % mod + (m/L) * n % mod) % mod * ((R - L + 1) * (L + R) / 2 % mod) % mod;
        ans3 = ((n/L) * (m/L) % mod * (get(R) - get(L - 1) + mod) % mod )% mod;
        ans = ((ans - (ans1 + ans3 - ans2) ) % mod + mod) % mod;
    }
    printf("%lld
", ans%mod);
    return 0;
}