整理自Andrew Ng的machine learning课程 week2.
目录：
- 多元线性回归 Multivariates linear regression /MLR
- Gradient descent for MLR
- Feature Scaling and Mean Normalization
- Ensure gradient descent work correctly
- Features and polynomial regression
- Normal Equation
- Vectorization
前提：
$x_{(j)}^{(i)}$：第i个训练样本的第j个特征的值；
$x^{(i)}$：第i个训练样本；
m：训练样本的数目；
n：特征的数目；
1、多元线性回归
具有多个特征变量的回归
比如，在房价预测问题中，特征变量有房子面积x1，房间数量x2等；
模型：
$h_ heta(x)= heta_0+ heta_1x1+ heta_2x_2+...+ heta_nx_n$
为了方便，认为$x_0=1$（注意这是一个vector，$[x_0^{(1)} x_0^{(2)} ... x_0^{(n)}]=1$），这样的话x和$ heta$就可以相互匹配，进行矩阵运算了；
对于一个training example而言：
$h_ heta(x)$
$= heta_0+ heta_1x1+ heta_2x_2+...+ heta_nx_n$
=$ heta^Tx$
=$egin{bmatrix} heta_0 & heta_1 & ... & heta_n end{bmatrix} egin{bmatrix} x_0\ x_1\ ...\ x_n end{bmatrix}$
对于所有的训练样本而言：
$X=egin{bmatrix} x_0^{(1)} & x_1^{(1)} & ...& x_n^{(1)}\ x_0^{(2)} & ... & ... & ...\ ... & ... & ... & ...\ x_0^{(m)} & x_1^{(m)} & ...& x_n^{(m)} end{bmatrix}$
$ heta = egin{bmatrix} heta_0\ heta_1\ ...\ heta_n end{bmatrix}$
X是design matrix，$h_ heta(x)=X heta$
2、Gradient descent for MLR
损失函数：$J( heta)=frac{1}{2m} sum_{i=1}^m(h_ heta(x^{(i)})-y_{(i)})^2 = frac{1}{2m} (X heta-y)^T (X heta-y)$
GD更新准则：
$ heta_j:= heta_j-sum_{i=1}^m(h_ heta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j$
3、Feature Scaling and Mean Normalization
思想：确保特征的量级在统一尺度之下
为什么要做feature scaling？
如下图，当特征不在一个尺度之下时，优化时的等高线图相当于一个又长又细的椭圆，此时若初始位置不是在上下左右4个顶上，GD会走的特别曲折，要很久才可以找到最优解；
而当特征的尺度一致时，优化时的等高线图是接近一个正圆，无论初始位置在哪里，GD都会很快的找到最优解；
如何做feature scaling？
$x=frac{x}{max(x)-min(x)}$
这样可以保证x在0到1之间，一般而言，-1<x<1是比较标准的scaling尺度，但是并不是一定要在这个范围之内。
Mean Normalization
结合Feature Scaling ：$x=frac{x-mu}{range(x)}$
$mu$是x的均值，range(x)是最大值与最小值的范围，或者是标准差；
4、Ensure gradient descent work correctly
如何保证我们的Gradient descent work correctly？可以画一个损失函数随迭代次数变化的图：
如果GD做的是对的话，那么J应该是下降的，在迭代一定次数后开始收敛。（迭代次数视问题而定，有可能是400，有可能是40，也有可能是4000）
那么怎样才是收敛呢？
在一次迭代中，J下降的十分少，小于某个很小的阈值（如$10^{-3}$），但是实际上这个阈值的选择是十分困难的，建议通过J-iteration来调整；
学习率的选取
如果你的J是增大的，那么可能是因为学习率$alpha$选取的太大了，可以调整$alpha$；
如果J下降的十分缓慢，说明$alpha$的选取太小了的，这会消耗很多时间达到收敛；
建议可以通过观察J-iteration图，逐步的调整$alpha$（0.001，0.003，0.01，0.03，0.1，0.3，1，3.......）；
5、Feature and Polynomial regression
Features
比如在房价预测问题中，若x1是房子的长，x2是房子的宽，此时若组合x1和x2就可以得到一个新的特征area=x1*x2；
构造一个好的特征对模型是有帮助的；
Polynomial regression
同上思想，如当线性关系（直线）无法精确的拟合散点的话，那应当考虑一些非线性的函数，如quadratic、cubic和square root的关系：
$h_ heta(x)= heta_0+ heta_1x_1+ heta_2x_2+ heta_3x_3$
$= heta_0+ heta_1(size)+ heta_1(size)^2+ heta_1(size)^3$
此时：
$x_1=size$
$x_2=size^2$
$x_3=size^3$
同时，在这个时候，Feature Scaling就显得特别重要了：
因为若size<10，则$size^2<100$，$size^3<1000$，
6、Normal Equation
在线性回归问题中，除了可以用GD求最优解，还可以用解析解之间求解，在线性代数中：
$frac{partial J}{partial heta}=0$是有解析解的：
$ heta=(X^TX)^-1X^Ty$
注意用这种方法求解时，就没必要进行Feature Scaling了；
那既然有解析解了，为什么还要使用Gradient descent呢？
| Gradient Descent | Normal Equation |
| 需要进行迭代 | 无需迭代 |
| 需要设定学习率$alpha$ | 无需设定学习率$alpha$ |
| 时间复杂度为O(kn2) | 时间复杂度O(n3)（求逆的复杂度） |
由表中第3点，当数据的特征特别多（n=106）时，Normal Equation会耗费相当多的时间
而且，并非所有的优化问题都有解析解，很多复杂的机器学习问题是没有解析解的，此时我们还是需要使用Gradient Descent来求解
$X^TX$没有逆？
注意到解析解里面有个求逆运算，但是有些情况是没有逆的：
- Redundant features（linearly dependent）
当两个特征是线性依赖的时候，比如size in feet2 和size in m2；
- Too many features（m<=n）
当特征太多了，多于训练样本的数目的时候；
如何解决这个问题？
删除一些特征，或者使用regularization；
注：在matlab/octave中，求逆有inv和pinv两种，而pinv就是在即使没有逆的时候也可以求出来一个逆；
7、Vectorization
在求解一个线性回归问题的时候，无论是计算损失，还是更新参数（$ heta$），都有很多的向量计算问题，对于这些计算问题，可以使用for循环去做，但是在matlab/octave，或者python或其他语言的数值计算包中，对向量的计算都进行了优化，如果使用向量计算而不是for循环的话，可以写更少的代码，并且计算更有效率。
在上面的一些公式中，都做了vectorization的处理。（主要是计算损失和更新参数）