1. 线性函数
1.1 (k)重线性函数
前面讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。度量一般表现为向量的函数，比如行列式可以看成是(n)个行（列）向量的函数，矩阵之积的每一个元素其实就是一个行向量和一个列向量的函数。严格来讲，对域(F)上的线性空间(V)，映射(V imescdots imes Vmapsto F)（(k)个(V)）叫做线性空间(V)上的(k)元函数，一般记作(f(xi_i,cdots,xi_k))。
如果函数在每一个变量(xi_i)上都满足线性等式（1），它也叫(V)上的(k)重线性函数。由定义容易知道，如果选定(V)的一组基，(k)重线性函数可以由(xi_1,cdots,xi_k)分别取遍这组基所唯一确定。特别地，(n)维线性空间上的(k)重线性函数由(n^k)个独立变量完全确定。所有(k)重线性函数可以组成(F)上的线性空间，严格定义你可以自己给出。
[f(cdots,xi_{i-1},k_1alpha+k_2eta,xi_{i+1},cdots)=k_1f(cdots,xi_{i-1},alpha,xi_{i+1},cdots)+k_2f(cdots,xi_{i-1},eta,xi_{i+1},cdots) ag{1}]
前面举的行列式和行列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例子，我们发现线性函数还有一个性质可以继续讨论，那就是变量(xi_i,xi_j)位置的交换对函数值的影响。当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成立的函数叫对称线性函数，而式（3）恒成立的叫反对称线性函数，这两种情况都是比较常见的。容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，而不影响函数的值。
[f(cdots,xi_i,cdots,xi_j,cdots)=f(cdots,xi_j,cdots,xi_i,cdots) ag{2}]
[f(cdots,xi_i,cdots,xi_j,cdots)=-f(cdots,xi_j,cdots,xi_i,cdots) ag{3}]
反线性函数中，若(xi_i=xi_j)，则有(f(cdots,xi_i,cdots,xi_j,cdots)=0)，继而将某个变量的倍数加到另一个变量后，函数的值不变。还可以知道，如果(xi_1,cdots,xi_k)线性相关，则有(f(xi_1,cdots,xi_k)=0)。这个性质让我们想到了行列式的基本性质，其实当选定(V)的一组基(varepsilon_1,cdots,varepsilon_n)，并设(xi_i=a_{i1}varepsilon_1+cdots+a_{in}varepsilon_n)，根据定义展开(n)重对称反线性函数(f(xi_1,cdots,xi_n))可得到公式（4）。
[f(xi_1,cdots,xi_n)=egin{vmatrix}a_{11}&cdots&a_{1n}\vdots&ddots&vdots\a_{n1}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}f(varepsilon_1,cdots,varepsilon_n) ag{4}]
如果(f(varepsilon_1,cdots,varepsilon_n) e 0)，则可以适当选取这组基，使得(f(varepsilon_1,cdots,varepsilon_n)=1)。由公式（3）可知，这时的(n)重反对称线性函数正是变量坐标的行列式，有些教材中就是把它作为行列式的定义的。
• 求证：当(xi_i=0)时，(f(cdots,xi_i,cdots)=0)；
• 求证：反线性函数中(xi_i=xi_j)时的性质可反推到它的定义，它们是等价的。
1.2 线性函数和对偶空间
在不产生混淆的情况下，(1)重线性函数也简称为线性函数，它其实就是线性变换(f:Vmapsto F)。由前面的讨论我们已经知道，线性函数(f(alpha))由(V)中基的像完全确定，特别地，(n)维线性空间（基为({alpha_1,cdots,alpha_n})）的线性函数都可以由下式表示。
[f(alpha)=k_1f(alpha_1)+cdots+k_nf(alpha_n),quad alpha=k_1alpha_1+cdots+k_nalpha_n ag{5}]
也就是说，向量((f(alpha_1),cdots,f(alpha_n)))唯一确定了一个线性函数，故(V o F)上的所有线性函数( ext{Hom}\,(V,F))构成一个(n)维线性空间(V^*)。这样就有(Vcong V^*)，并且我们很自然地可以想到，将(alpha_i)对应到((0,cdots,1,cdots,0))所确定的线性函数(f_i)。严格定义为式（6），其中(delta_{ij})叫克罗内克记号，可以证明(f_1,cdots,f_n)是(V^*)的一组基。
[f_i(alpha_j)=delta_{ij}=egin{cases}1&(i=j)\0&(i e j)end{cases} ag{6}]
以上映射虽然看起来比较自然，但却依赖于基(vec{alpha}=(alpha_1,cdots,alpha_n)')的选择。换句话说，如果换成另外一组基(vec{eta}=(eta_1,cdots,eta_n)')，映射关系也将改变。比如设(vec{alpha})到(vec{eta})的过渡矩阵为(A)，则有(Avec{alpha}=vec{eta})，或(vec{alpha}=A^{-1}vec{eta})。再设(vec{alpha})按以上定义映射到(vec{f}=(f_1,cdots,f_n)')，而(vec{eta})映射到(vec{g}=(g_1,cdots,g_n)')，下面来计算(vec{f})到(vec{g})的过渡矩阵(B)。
要求过渡矩阵(B)，就是用(f_i)线性表示(g_j)，根据公式（6）的性质其实就是要确定(b_{ji}=g_j(alpha_i))。设(A^{-1})的元素为(a_{ij})，则有(alpha_i=sumlimits_k{a_{ik}eta_k})，带入(b_{ji})并根据(g_j)的定义得(b_{ji}=a_{ij})。这就有(B'=A^{-1})，即有式（7）成立，该式验证了公式（6）定义的映射在不同基下也是不同的。
[B=(A^{-1})' ag{7}]
但这个式子却提示我们，如果同样地定义线性函数(V^*mapsto F)，并得到另一个线性空间(V^{**}= ext{Hom}\,(V^*,F))。这时(V^{**})随基变化的过渡矩阵为(C=(B^{-1})'=A)，也就是说不管(vec{alpha})如何选取，映射(Vmapsto V^{**}:alpha o f oalpha^{**})始终不变。这样我们就可以将(V,V^{**})完全重合并看成是同一个空间，而(V^*mapsto V^{**})就相当于定义了映射(V^*mapsto V)，它与(Vmapsto V^*)是“对称”的。在这种映射下，(V,V^*)互相称为对偶空间，容易验证对偶空间有公式（8）成立。
[alpha(f)=f(alpha) ag{8}]
2. 双线性函数
2.1 双线性函数
(2)重线性函数又称双线性函数，双线性函数表现为两个向量的度量运算。在新的度量下，空间向量的关系呈现出新的形态和限制，从而使得空间结构变得更加立体。由前面的讨论我们知道，如果(varepsilon_1,cdots,varepsilon_n)为(n)维空间(V)的一组基，则双线性函数(f(alpha,eta))由(n^2)个值(f(varepsilon_i,varepsilon_j))唯一确定。并且容易知道，如果向量(alpha,eta)的坐标分别为( ilde{x}=(x_1,cdots,x_n), ilde{y}=(y_1,cdots,y_n))，则有式（9）成立。
[f(alpha,eta)= ilde{x}A ilde{y}',quad a_{ij}=f(varepsilon_i,varepsilon_j) ag{9}]
在选定空间的基后，双线性函数由公式（9）中的方阵(A)所表示，反之在这组基下，任意(n)阶方阵(A)根据公式（9）确定了一个双线性函数。所以在固定的基下，(n)阶方阵和(n)维空间的双线性函数是一一对应的，这个矩阵也称为函数的度量矩阵。其中对称双线性函数和反对称双线性函数分别满足（10）（11）式，它们的矩阵分别是对称矩阵和反对称矩阵。
[f(alpha,eta)=f(eta,alpha)quadRightarrowquad A=A' ag{10}]
[f(alpha,eta)=-f(eta,alpha)quadRightarrowquad A=-A' ag{11}]
对有限维空间的双线性函数的研究，可以转化为对度量矩阵的研究。那么我们究竟需要研究什么呢？首先想到的是，矩阵自身的性质体现为双线性函数的什么性质呢？双线性函数使得向量之间有了新的关系，我们需要知道在这样的关系下，线性空间的自同构类是怎样的（即双线性函数的分类）？最重要的还要讨论，这个关系对空间结构的影响是怎样的？
2.2 双线性函数的秩
双线性函数包含了两个线性函数，分别固定(alpha)或(eta)，(f(alpha,eta))分别变成了线性函数(alpha_L(eta))和(eta_R(alpha))。当(alpha)取遍(V)时，记所有(alpha_L)组成的集合为(W_L)。在有限维空间中，分别取(alpha)为第(i)位为(1)、其它位为(0)的向量，得到的(alpha_L)的系数分别是(A)的第(i)行。这说明(W_L)正是由这些线性函数组成的线性空间，维数就是矩阵的秩，对(eta_R)组成的(W_R)也有同样的结论。度量矩阵的秩也被称为双线性函数的矩阵秩，记作( ext{rank}_m\,f)，从而有公式（12）。
[dim{(W_L)}=dim{(W_R)}= ext{rank}_m\,f ag{12}]
那些使得(alpha_L=0)或(eta_L=0)的向量组成的集合分别叫双线性空间的左根和右根，记作( ext{rad}_L\,f)和( ext{rad}_R\,f)。容易证明，左根和右根都是线性空间，且根据公式（9）知有限维空间中，它们分别是方程组( ilde{x}A=0)和(A ilde{y}'=0)的解集。若(n)维矩阵(A)的秩为(r)，则左右根的维数是(n-r)，既有公式（13）成立。
[dim{( ext{rad}_L\,f)}=dim{( ext{rad}_R\,f)}=dim{V}- ext{rank}_m\,f ag{13}]
当左右根为(0)时，表示如果(alpha eeta)，则(alpha_L eeta_L,alpha_R eeta_R)。在有限维空间中，此时的(A)是满秩的，且由公式（12）知(alpha_L,eta_R)分别遍历所有(n)阶线性函数，即有公式（14）成立。这样的双线性函数称为非退化的，否则称为退化的。
[W_L=W_R=V^* ag{14}]
我们自然还有一个疑问：退化的双线性函数中，(W_L,W_R)是什么关系？它们什么时候重合？集合(W=W_Lcup W_R)也称为双线性函数的秩空间，它的秩被称为双线性函数的秩，记作( ext{rank}\,f)。显然有( ext{rank}_m\,fleqslant ext{rank}\,f)，而且当且仅当(W_L=W_R)时等号成立，容易验证对称和反对称双线性函数满足条件。
2.3 合同矩阵
现在来继续研究有限维空间中，双线性函数结构，以及分类问题。如果存在向量(alpha,eta)，使得双线性函数(f,g)满足(f(alpha,eta) e g(alpha,eta))，它们当然就是“不同”的双线性函数。但可想而知，如果存在以下双射映射(varphi)，则(f,g)显然是“同构”的，它们可以看做是相同的双线性函数，也称为是合同的。在有限维空间中选定的一组基，如果(f,g)的度量矩阵(A,B)不相同，它们自然是不同的，但什么情况下它们会是合同的呢？当然，同构的双线性函数组成一个等价类，问题的答案也正好给双线性函数进行了分类。
[varphi::Vmapsto V,quad f(alpha,eta)=g(varphi(alpha),varphi(eta)) ag{15}]
有限维空间中，如果(f,g)是合同的，则取一组基( ilde{alpha}={alpha_1,cdots,alpha_n})，并设它们的像为( ilde{eta}={eta_1,cdots,eta_n})。由公式（15）知，(f)在( ilde{alpha})下的度量矩阵和(g)在( ilde{eta})下的度量矩阵是相同的。记这个矩阵为(A)，并设(g)在( ilde{alpha})下的度量矩阵为(B)。设( ilde{alpha})到( ilde{eta})的过渡矩阵为(P)，带入公式（9）便知(g)在( ilde{alpha})下的度量矩阵为(PAP')，故有公式(16)成立。
[Acong BquadLeftrightarrowquad B=PAP',quad |P| e 0 ag{16}]
满足公式（16）的方阵(A,B)也称为是合同矩阵。如果(f,g)在( ilde{alpha})下的度量矩阵是合同矩阵，则以(P)为过渡矩阵的双射显然满足公式(15)，所以(f,g)是合同的。这就说明，有限维空间中双线性函数合同的充要条件是：它们在同一组基下的度量矩阵是合同的。比较显然的是，合同矩阵的秩、以及双线性函数的秩都是它们的不变量。
要想对双线性函数进行分类，其实就是对合同矩阵进行分类，为此我们需要为其找到一个“标准型”以作为分类的依据。参考相似变换的“标准型”，它往往具有简单的形式，而且可以将空间分割为尽量小的“无关”子空间。线性变换中以不变子空间作为“无关”的分割依据，那么度量矩阵有什么参数可以作为依据呢？直觉告诉我们，以(f(alpha,eta))是否为(0)条件所确定的(alpha,eta)的关系，将是一个很好的“无关”参考标准。
2.4 正交向量
但在此之前，还有一个细节需要处理，那就是有可能(f(alpha,eta) e f(eta,alpha))。而一般的“无关性”是可交换的，为此我们要给(f)一个限制条件，就是(f(alpha,eta)=0)当且仅当(f(eta,alpha)=0)。在这个限定下，定义满足(f(alpha,eta)=0)的向量(alpha,eta)是正交的，记作(alphaperpeta)。容易证明，与(alpha)或集合(W)的每个元素都正交的向量皆组成一个子空间，称为它们的正交补，分别记作(alpha^{perp},W^{perp})。
这时双线性函数的左右根是相同的（为(V^{perp})），它也被称为双线性函数的根，记作( ext{rad}\,f)。对任意子空间(W)，(f)在其上的根也可简记为( ext{rad}\,W)，容易验证有公式（17）成立。另外在有限维空间中，如果(f)是非退化的，使用线性方程组根的理论容易有式（18）成立。如果(f|_W)也是非退化的，结合（17）（18）便有（19）式成立。
[ ext{rad}\,W=Wcap W^{perp} ag{17}]
[dim{W}+dim{W^{perp}}=dim{V},quad (W^{perp})^{perp}=W ag{18}]
[Woplus W^{perp}=V ag{19}]
3. 双线性函数的标准型
3.1 函数的直和分解
现在来看看满足限制条件的双线性函数还有什么性质，考察任意向量(varepsilon=f(alpha,gamma)eta-f(eta,gamma)alpha)，显然有(f(varepsilon,gamma)=0)。根据限制条件有(f(gamma,varepsilon)=0)，即公式（20）成立，当(alpha=gamma)时还有式（21）成立。（21）中看出，如果(f(alpha,alpha) e 0)，则双线性函数中(alpha)可与任何向量交换。反之如果(alpha,eta)不可交换，则(f(alpha,alpha)=f(eta,eta)=0)。
[f(alpha,gamma)f(gamma,eta)-f(gamma,alpha)f(eta,gamma)=0 ag{20}]
[f(alpha,alpha)(f(alpha,eta)-f(eta,alpha))=0 ag{21}]
假设既存在(f(gamma,gamma) e 0)，又存在(f(alpha,eta) e f(eta,alpha))，下面考察(etapmgamma)。首先容易有(f(alpha,etapmgamma) e f(etapmgamma,alpha))，这个不可交换性说明(f(etapmgamma,etapmgamma)=0)，两个式子展开便有(f(gamma,gamma)=pm 2f(eta,gamma))。这就得到(f(eta,gamma)=f(gamma,gamma)=0)，与(f(gamma,gamma) e 0)矛盾。
以上矛盾说明要么(f(gamma,gamma)=0)恒成立，要么(f(alpha,eta)=f(eta,alpha))恒成立。前者取(gamma=alpha+eta)可得(f(alpha,eta)=-f(eta,alpha))，故易知该条件与(f)是反对称函数等价。而后者说明(f)是对称函数，结合这两点可知，满足正交限制的双线性函数（(f(alpha,eta)=0)当且仅当(f(eta,alpha)=0)），要么是对称函数，要么是反对称函数。
从而只需研究对称（反对称）双线性函数，就可以弄清向量正交关系的结论。但光研究这两类函数是否有利于我们对双线性函数的分类呢？答案是肯定的。其实只需如公式（22）取两个双线性函数，易知(g,h)分别为对称、反对称双线性函数，且(f=g+h)。另外，从（22）反过来求解方程组，还可知(g,h)是唯一的。从而得到结论：任何双线性函数可唯一分解为一个对称双线性函数和一个反对称双线性函数直和。
[g(alpha,eta)=frac{1}{2}(f(alpha,eta)+f(eta,alpha));quad h(alpha,eta)=frac{1}{2}(f(alpha,eta)-f(eta,alpha)) ag{22}]
容易验证，所有对称、反对称双线性函数分别是一个子空间，我们记之为(S_2(V),A_2(V))，并记整个双线性函数空间为(T_2(V))。上面的结论说明(T_2(V)=S_2(V)+A_2(V))，当域的特征值不为(2)时，还有(S_2(V)cap A_2(V)=0)，从而有式（23）成立。当域的特征值不为(2)时，双对称线性函数的分类问题就转化为了(S_2(V),A_2(V))的分类问题。如不作特殊说明，今后讨论的域都满足( ext{Char}\,F e 2)。当( ext{Char}\,F=2)时，双线性函数的标准型融合了两类标准型的格式，之后请自行论证。
[T_2(V)=S_2(V)oplus A_2(V),quad ( ext{Char}\,F e 2) ag{23}]
3.2 对称矩阵的合同标准型
先来看看有限维空间中，对称双线性函数是否有我们想要的“标准型”，使用的主要工具当然就是正交。如果对所有的向量都有(f(alpha,alpha)=0)，则它是平凡的零函数，无需多作讨论。否则任意取(f(alpha,alpha) e 0)，并记(W=left<alpha ight>)。对任意向量(eta)，设(eta = kalpha+gamma, (gammain W^{perp}))，其中(k)为待定系数。根据(f(alpha,gamma)=0)可以得到(k)的唯一解，这就是说空间有以下直和分解。
[V=Woplus W^{perp},quad (W=left<alpha ight>) ag{24}]
取(W^{perp})的一组基，并与(alpha)组成(V)的一组基。上面的分析告诉我们，在这组基下双线性函数的度量矩阵有形式(egin{bmatrix}f(alpha,alpha)&0\0&Bend{bmatrix})。由归纳法归纳可知，对称双线性函数在某一组基下的度量矩阵为对角矩阵，或者说任意对称矩阵(A)都合同于一个对角矩阵（公式（25）），这个对角矩阵就称为(A)的合同标准型。
[A=A'quadLeftrightarrowquad PAP'= ext{diag}\,{d_1,cdots,d_r,0,cdots,0},quad (|P| e 0,:r= ext{rank}\,A) ag{25}]
需要注意，对称矩阵的合同标准型并不是唯一的，它依赖于基的选取。对每个对角元有(d_i=f(alpha_i,alpha_i))，当(alpha_i)取自身的(k)倍时就得到了不同的对角元(k^2d_i)。但这个提醒了我们，在实数域和复数域中，还可以有进一步的结论。比如在实数域取(dfrac{alpha_i}{sqrt{|d_i|}})，并适当调整顺序后就得到实数域对称矩阵的合同标准型（26）。在复数域中，取(dfrac{alpha_i}{sqrt{d_i}})，就得到了复数域对称矩阵的合同标准型（27）。
[A=A'quadLeftrightarrowquad PAP'=egin{bmatrix}I_p&&\&-I_q&\&&0_{n-p-q}end{bmatrix},quad (P,AinBbb{R}_{n imes n}) ag{26}]
[A=A'quadLeftrightarrowquad PAP'=egin{bmatrix}I_r&\&0_{n-r}end{bmatrix},quad (P,AinBbb{C}_{n imes n}) ag{27}]
复对称矩阵的合同标准型显然是唯一的，(r)是其全系不变量，下面来讨论实对称矩阵的合同标准型。由公式（26）知，空间(V)可以有直和分解(V=V^+oplus V^-oplus V^{perp})，其中(V^+,V^-)分别是对应(p,q)维的子空间。如果还有另一种分解(V=V_0^+oplus V_0^-oplus V^{perp})，从正负性考虑可知(V_0^+cap V^-oplus V^{perp}=0)，从而(dim{(V_0^+)}leqslantdim{(V^+)})。同样可有(dim{(V^+)}leqslantdim{(V_0^+)})，故(dim{(V_0^+)}=dim{(V^+)})，这就是说公式（26）中的(p,q)是唯一的，(p,q)是合同标准型的全系不变量，这个结论也叫惯性定律。
如果(q=0)则易知(fgeqslant 0)恒成立，这样的双线性函数或矩阵称为半正定的。特别地当(p=n)时，(f(alpha,alpha)=0)当且仅当(alpha=0)，这样的双线性函数或矩阵称为正定的。类似地可以定义半负定和负定，显然(V^+,V^-)分别是正定和负定的，为此(p,q)也分别叫正（负）惯性指数。
3.3 反对称矩阵的合同标准型
在反对称双线性函数中，如果恒有(f(alpha,eta)=0)，则它是平凡的零函数。假设有(f(alpha_1,alpha_2) e 0)，适当调整向量的倍数可使函数值为(1)。首先易知(alpha_1,alpha_2)线性无关，这就使得我们不能像对称双线性函数中那样取(left<alpha_1 ight>)的正交补，而只能考虑(W=left<alpha_1,alpha_2 ight>)。
对任意(eta)，设(eta = k_1alpha_1+k_2alpha_2+gamma,(gammain W^{perp}))，由(f(alpha_i,gamma)=0)可以得到(k_i)的唯一解，从而有公式（28）的直和分解。类似对称双线性函数的分析，可知在某一组基下，反对称双线性函数的度量矩阵为式（29）的形式，这个矩阵也叫反对称矩阵的合同标准型。从式（29）还容易看出，反对称矩阵的秩必定是偶数。
[V=Woplus W^{perp},quad (W=left<alpha_1,alpha_2 ight>) ag{28}]
[A=-A'quadLeftrightarrowquad PAP'= ext{diag}\,{D,cdots,D,0,cdots,0},quad (|P| e 0,D=egin{bmatrix}0&1\-1&0end{bmatrix}) ag{29}]