博弈学习 2

链接 1 ：http://blog.csdn.net/logic_nut/article/details/4711489
链接 2 ：http://blog.sina.com.cn/s/blog_83d1d5c70100y9yd.html
链接 3 ：http://blog.csdn.net/luomingjun12315/article/details/45479073

上次了解了有关博弈的几个定义与结论 ，并写了几个简单的巴什博奕。

这次解题主要用到了上次 Nim 游戏的几个证明与结论。

引用链接 1 原文 ~~

(Bouton's Theorem)对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示异或(xor)运算。

根据定义，证明一种判断position的性质的方法的正确性，只需证明三个命题：

1、这个判断将所有terminal position判为P-position；
2、根据这个判断被判为N-position的局面一定可以移动到某个P-position；
3、根据这个判断被判为P-position的局面无法移动到某个P-position。

第一个命题显然，terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

第二个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足 a1^a2^...^ai'^...^an=0。
不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。
这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时 a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

第三个命题，对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足 a1^a2^...^ai'^...^an=0。
因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动。证毕。

根据这个定理，我们可以在O(n)的时间内判断一个Nim的局面的性质，且如果它是N-position，也可以在O(n)的时间内找到所有的必胜策略。Nim问题就这样基本上完美的解决了。

题目：HDU1849  HDU1850

HDU1849

利用结论可解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main()
{
    int m,x,ans =0;
    while(scanf("%d",&m)!=EOF && m){
        ans = 0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d",&x);     
        printf(ans?"Rabbit Win!
":"Grass Win!
");
    }
    return 0;
}  

HDU 1850

第二个命题可解

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int x[110];
int main()
{
    int m;
    while(scanf("%d",&m)!=EOF && m){
        int k = 0;
        for(int i=0;i<m;i++){
            scanf("%d",&x[i]);
            k ^= x[i];
        }
        int cnt = 0;
        if(k != 0){
            for(int i=0;i<m;i++){
                if( (x[i]^k) < x[i]) cnt++;        
            }
        }
        printf("%d
",cnt);
    
    }
    return 0;
}