由不定方程想到的——数论选讲

所谓二元一次不定方程，指的是关于$x,y$的，形如$ax+by=c$的方程

在这里我们约定$a,b,c$均为整数。

那么我们遇到的问题是：如何判断这个方程有解呢？

裴蜀定理：设$a,b,d$均为整数，且$(a,b)=d$，则存在$u,v$使得$ua+vb=d$

证明：由$(a,b)=d$知$且d|a且d|b$，那么就有$d|ua+vb$

​            记$ua+vb$的最小正值为$s$，则$d|s$

​            对a做带余除法得：$，且与均为整数a=qs+r(0leq r<s，且q与r均为整数)$

​            则$r=a-qs=a-q(ua+vb)=(1-qu)a+(-qv)b$，故r为a,b的线性组合（你可以将线性组合理解为一个整数z可以被表示成ax+by（都是整数））

​            而s为$ua+vb$的最小正值且$0leq r<s$，所以$r=0$,即$a=qs$

​            所以$s|a$

​            同理可证$s|b$

​            故$即s|(a,b)即s|d$，又由$d|s$知$d=s$

在明确了裴蜀定理之后，我们便可以得出二元一次不定方程有解的条件：$gcd(a,b)|c$

证明：设$d=gcd(a,b),a=a_1d,b=b_1d,c=c_1d$，则原方程可化为$a_1x+b_1y=c_1,gcd(a_1,b_1)=1$

​            由裴蜀定理知，存在整数$x_0,y_0$，使得$a_1x_0+b_1y_0=1$

​            所以$a_1(x_0c_1)+b_1(y_0c_1)=c_1$

​            从而原方程有一组整数解$x=x_0c_1,y=y_0c_1$

我们在刚刚的证明中构造出了方程的一组解，很明显的发现如果按照上述方法求解明显是行不通的，所以我们必须得想一个方法求出不定方程的一组解

在上面的证明过程中，除了已知数，我们反复提到了另一个数$gcd(a,b)$

我们来看一下能否从这个数中发现一些端倪

先解这个方程$ax+by=gcd(a,b)$

(1)若$b=0$,则$gcd(a,b)=a$，原方程即$a·x+0·y=a$,显然$x=1,y=0$

(2)若$b eq 0$,则$gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)$

​    由此可以知道$ax+by=bx_0+(a mod b)y_0=bx_0+(a-a div b*b)y_0=ay_0+b(x_0-a div b*y_0)$

因此$x=y_0,y=x_0-a div b*y_0$

而我们已经知道了最后一次的$与x_0与y_0$的值

所以逐层往上倒推即可

由于所有过程是建立在求$gcd(a,b)$的基础上的，所以这个方法叫做扩展欧几里得

代码如下

#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
 
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0) {x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmpx=x,tmpy=y;
    x=tmpy;y=tmpx-(a/b)*tmpy;
}
 
int main()
{
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    int x,y;
    exgcd(a,b,x,y);
    cout << x << " " << y;
    return 0;
}

若不定方程为$ax+by=k*gcd(a,b)$，则直接在所求得的$x,y$的基础上乘上$k$即可

我们在求出了原不定方程的一组解后，能否用它来推出所有解呢？

假设我们当前求出的解是$(x_0,y_0)$,下一组解是$(x_0+d_1,y_0+d_2)(其中d_1是满足条件的最小的正整数)$

则$a(x_0+d_1)+b(y_0+d_2)=c,ax_0+by_0=c$

带入解得$ad_1+bd_2=0$，即$frac{d_1}{d_2}=-frac{b}{a}$

化简得$frac{d_1}{d_2}=-frac{frac{b}{gcd(a,b)}}{frac{a}{gcd(a,b)}}$

因而二元一次不定方程$ax+by=c$的一般解可表示为

$$x=x_0+k*frac{b}{gcd(a,b)},y=y_0-k*frac{a}{gcd(a,b)}$$，其中$kin Z$

线性同余方程

所谓线性同余方程，指的是最简单的同余方程，形如$其中axequiv c(mod b),其中(b>0)$

一般讨论同余方程的解$x$满足$0leq x <b$

原同余方程等价于$ax+by=c$，即上面的不定方程

所以原线性同余方程有解的条件是$gcd(a,b)|c$

但是在这里我们还关心一点——解的个数（因为x已经被限制了）

可以证明，对于上面的线性同余方程，只要有解，就会有$d=gcd(a,b)$个解

证明什么的不是重点（逃

由上面知第一个解为$x=(x_0*(c/d))mod b$

剩下的$d-1$个解可以加上$b/d$的倍数得到

即$x_i=(x_0+i*(b/d))mod b(1leq ileq d-1)$