[ZJOI2009]函数 题解

题目链接：[ZJOI2009]函数

对于$n=1$的情况，直接输出$1$

对于$n>1$的情况，由于我们可以将图上下反转，所以第$k$层的情况可以被转成第$n-k+1$层

规律自己打个表可以推出来：$ans=min(k,n-k+1)*2$

关键是如何证明它，我们用数学归纳法证明

当$k=1$，时，很明显$ans=2$（即最下端的那两部分）

假设在$k-1$的时候结论成立，即此时$ans=2*(k-1)$，

那么在$k$的时候

我们将$ans$中的每一段向上延伸，在碰到交点时停止，所得到的新$2(k-1)$段则是第$k$层的组成部分（因为每一个交点只会涉及到两个函数值的大小关系变化，这由题目中“没有三个函数共点”可以推知）

而每一层的开头与结尾必须是像正负无穷大无限延伸的

所以我们还要补上一头一尾两段

总的答案$=2(k-1)+2=2k$段，命题得证

#include<iostream>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
int n,k;
int main()
{
    cin >> n >> k;
    if (n==1) cout << 1;
    else cout << min(k,n-k+1)*2;
    return 0;
}