题意：给你三个杯子，一开始钥匙放在中间的杯子里，然后每一回合等概率将左右两个杯子中的一个与中间杯子交换。求n回合之后钥匙在中间杯子的概率。这里要求概率以分数形式输出，先化成最简，然后对1e9 + 7取模。
题解：首先我们可以轻易得到一个递推式：$ d[i] = frac{{1 - d[i - 1]}}{2} $
但递推式是不行的，我们要得到一个封闭形式。
运用数列技巧，我们可以进行如下变换：$d[i] - frac{1}{3} = - frac{1}{2}(d[i - 1] - frac{1}{3})$
那么我们有 $d[n] = frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{{3 imes {2^{n - 1}}}}$
其中我们发现，${{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}$ 一定是3的倍数，且商一定是奇数，所以与剩下部分互质
也即 $p = frac{{{{( - 1)}^n} + {2^{n - 1}}}}{3}$ $q = {2^{n - 1}}$
带进去算就好了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define LL long long 4 #define mod 1000000007 5 6 inline LL read() { 7 LL x = 0, f = 1; char a = getchar(); 8 while(a < '0' || a > '9') { if(a == '-') f = -1; a = getchar(); } 9 while(a >= '0' && a <= '9') x = x * 10 + a - '0', a = getchar(); 10 return x * f; 11 } 12 13 int n, p = 2, q, f = 1; 14 15 inline int fpow(int x, LL k) { 16 int ret = 1; 17 while(k) { 18 if(k & 1) ret = 1LL * ret * x % mod; 19 k /= 2; x = 1LL * x * x % mod; 20 } 21 return ret; 22 } 23 24 int main() { 25 n = read(); 26 LL tmp; int inv2 = fpow(2, mod -2), inv3 = fpow(3, mod - 2); 27 for(int i = 1; i <= n; i++) { 28 tmp = read(); 29 f = 1LL * f * tmp % 2; 30 p = fpow(p, tmp); 31 } 32 q = 1LL * p * inv2 % mod; 33 p = 1LL * (q + (f ? -1 : 1)) * inv3 % mod; 34 printf("%d/%d " ,p ,q); 35 return 0; 36 }