图论_最短路径

Floyd算法：

用邻接矩阵保存原图，时间复杂度O(N^3),空间复杂度O(N^2),N为图中节点个数。

一般情况下，被要求解图的大小不超过200个结点，当图使用邻接矩阵表示时更为方便，否则要注意转换。

因为算法完成后，图中所有结点间的最短路径都将被确定，所以其较适用于全源最短路径长度问题。

for(int k=1;k<=n;k++){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(ans[i][k]==无穷||ans[k][j]==无穷) continue;
            if(ans[i][j]==无穷||ans[i][k]+ans[k][j]<ans[i][j])
                ans[i][j]=ans[i][k]+ans[k][j];
        }
    }
}

例5.5 最短路（1447）

题目描述：在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

输入：输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。当输入为两个0时，输入结束。

输出：对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间。

样例输入：
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
样例输出：
3
2

#include<stdio.h>
using namespace std;
int ans[101][101];
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        if(n==0&&m==0) break;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)
                ans[i][j]==-1;
            ans[i][i]=0;
        }
        while(m--){
            int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            ans[a][b]=c;
            ans[b][a]=c;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=1;j<=n;j++){
                    if(ans[i][k]==-1||ans[k][j]==-1) continue;
                    if(ans[i][j]==-1||ans[i][k]+ans[k][j]<ans[i][j])
                        ans[i][j]=ans[i][k]+ans[k][j];
                }
            }
        }
        printf("%d
",ans[1][n]);
    }
    return 0;
} 

Dijkstra算法：

可用邻接链表或邻接矩阵保存有向图或无向图，只能求得某特定结点到其他所有结点的最短路径长度，即单源最短路径问题。

时间复杂度为O(N^2),若在查找最小值处利用堆进行优化，则时间复杂度可以降到O(N*logN)。

算法流程：

（1）初始化，集合K中加入结点1，结点1到结点1最短距离为0，到其他结点为无穷（或不确定）。

（2）遍历与集合K中结点直接相邻的边（U,V,C），其中U属于集合K，V不属于集合K，计算由结点1出发按照已经得到的最短路到达U，再由U经过该边到达V时的路径长度。比较所有与集合K中结点直接相邻的非集合K结点该路径长度，其中路径长度最小的结点被确定为下一个最短路径确定的结点，其最短路径长度即为这个路径长度，最后将该结点加入集合K。

（3）若集合K中已经包含了所有的点，算法结束；否则重复步骤（2）。

下面重写例4.5：

#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
struct E{
    int next;
    int c;
};
vector<E> edge[101];
bool mark[101];
int Dis[101];
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        if(n==0&&m==0) break;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            edge[i].clear();
        while(m--){
            int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            E tmp;
            tmp.c=c;
            tmp.next=b;
            edge[a].push_back(tmp);
            tmp.next=a;
            edge[b].push_back(tmp);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            mark[i]=false;
            Dis[i]=-1;
        }
        Dis[1]=0;
        mark[1]=true;
        int newP=1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=0;j<edge[newP].size();j++){//更新Dis 
                int t=edge[newP][j].next;
                int c=edge[newP][j].c;
                if(mark[t]) continue;
                if(Dis[t]>Dis[newP]+c||Dis[t]==-1)
                     Dis[t]=Dis[newP]+c;
            }
            int min=123123123;
            for(int j=1;j<=n;j++){//找newP 
                if(mark[j]) continue;
                if(Dis[j]==-1) continue;
                if(Dis[j]<min){
                    min=Dis[j];
                    newP=j;
                }
            } 
            mark[newP]=true;
        }
        printf("%d
",Dis[n]);
    }
    return 0;
}

 要注意的是Dijkstra算法原理在存在负权值的图上不成立，要求解包含负权值边上的最短路问题，我们需要使用SPFA算法。