一、记号
- 用求和记号可以很好地将很长的式子变为一个较短的式子。
[a_1+a_2+a_3+dots+a_{n-1}+a_n=sum_{i=1}^n a_i
]
- (sum) 下面是下界，上面是求和的上界。上面的式子也可以这样写：
[a_1+a_2+a_3+dots+a_{n-1}+a_n=sum_{1 le i le n} a_i
]
-
这样的式子迭代性很强，可以多重求和： (displaystylesum_iBig(sum_ja_i+b_jBig))
-
假设要算100内奇数平方的和，可以这样写： (displaystylesum_{k=1}^{100}k^2 [k为奇数]) （隐式表达）
也可以这样： (displaystylesum_{k=0}^{49}(2k+1)^2) （显示表达） -
([P(i)])，表示一个判断条件。
[[P(i)]=egin{cases} 1 &P(i)成立 \ 0 &P(i)不成立 end{cases}]例如 (sum_d [n|d]) 表示(n)的因数个数。
也就是说和式的条件也可以写在里面：
[a_1+a_2+a_3+dots+a_{n-1}+a_n=sum_i a_i[1 le i le n] ]
二、和式的计算
- 分配律： (displaystylesum_i a_i imes b=b imessum_i a_i)
- 结合律： (displaystylesum_{i=1}^n a_i+sum_{i=1}^n b_i=sum_{i=1}^n a_i+b_i)
- 广义分配律： (displaystylesum_iBig(sum_jf(i)g(j)[P(i)][Q(j)]Big)=Big(sum_i f(i)[P(i)]Big)Big(sum_j g(j)[Q(j)]Big))
- 交换求和顺序： (displaystylesum_iBig(sum_ja_{i,j}[P(i,j)]Big)=sum_jBig(sum_ia_{i,j}[P(i,j)]Big))
三、应用
求 (displaystylesum_{1le j<kle n}{1over k-j}) 的值？
(egin{aligned}
解：原式&=sum_{j=1}^{n-1}Big(sum_{k=j+1}^n{1over k-j}Big) \
&=sum_{j=1}^{n-1}Big(sum_{k-j=1}^{n-j}{1over k-j}Big) \
&=sum_{j=1}^{n-1}Big(sum_{k=1}^{n-j}{1over k}Big) \
&=sum_{k=1}^{n}Big(sum_{j=1}^{n-k}{1over k}Big) \
&=sum_{k=1}^{n}Big({1over k}sum_{j=1}^{n-k}1Big) \
&=sum_{k=1}^{n}{1over k}(n-k) \
&=nsum_{k=1}^{n}{1over k}-1 \
end{aligned})
简单的运算把两重循环变为了一重循环，很好的降低了时间复杂度。