1.什么是二叉排序树？
二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树（Binary Search Tree），亦称二叉搜索树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：
（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
（2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
（3）左、右子树也分别为二叉排序树；
2.如何查找？
步骤：
二叉树
若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。
二叉树若子树为空，查找不成功。
平均情况分析（在成功查找两种的情况下）：
在一般情况下，设 P（n，i）为它的左子树的结点个数为 i 时的平均查找长度。
如图的结点个数为 n = 6 且 i = 3; 则 P（n,i）= P（6, 3） = [ 1+ ( P(3) + 1) * 3 + ( P(2) + 1) * 2 ] / 6= [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6
注意：这里 P(3)、P(2) 是具有 3 个结点、2 个结点的二叉分类树的平均查找长度。 在一般情况，P（i）为具有 i 个结点二叉分类树的平均查找长度。
P(3) = （1+2+2）/ 3 = 5/3
P(2) = （1+2）/ 2 = 3/2∴ P（n,i）= [ 1+ ( P(i) + 1) * i + ( P(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n
∴ P（n）=
P（n,i）/ n <= 2(1+I/n)lnn
因为 2(1+I/n)lnn≈1.38logn 故P(n)=O(logn)
3.删除节点：
在二叉排序树删去一个结点，分三种情况讨论：
-
若*p结点为叶子结点，即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构，则只需修改其双亲结点的指针即可。
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若*p结点只有左子树PL或右子树PR，此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树（当*p是左子树）或右子树（当*p是右子树）即可，作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
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若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后，为保持其它元素之间的相对位置不变，可按中序遍历保持有序进行调整，可以有两种做法：其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树，*s为*p左子树的最右下的结点，而*p的右子树为*s的右子树；其二是令*p的直接前驱（或直接后继）替代*p，然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱（或直接后继）－即让*f的左子树(如果有的话)成为*p左子树的最左下结点(如果有的话)，再让*f成为*p的左右结点的父结点。
4.插入节点：
首先执行查找算法，找出被插结点的父亲结点。
判断被插结点是其父亲结点的左、右儿子。将被插结点作为叶子结点插入。
若二叉树为空。则首先单独生成根结点。
注意：新插入的结点总是叶子结点。
5.性能分析：
每个结点的C(i)为该结点的层次数。最坏情况下，当先后插入的关键字有序时，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为，其平均查找长度为(n+1)/2(和顺序查找相同），最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log 2 (n)成正比
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> using namespace std; typedef struct BiTNode//二叉排序树的存储结构 { int data; struct BiTNode *right,*lift; } *BiTree; void visit(BiTree &p)//遍历 { if(p->data!=0) cout<<p->data<<" "; } void inorder(BiTree &p)//中序遍历，可检验二叉排序树是否正确，若正确，中序遍历是一个单调不减的序列 { if(p!=NULL) { inorder(p->lift); visit(p); inorder(p->right); } } bool EQ(int a,int b)//判断当前节点与插入节点是否相等 { if(a==b) return true; else return false; } bool LT(int a,int b)//判断当前节点是否与插入节点存在大小关系 { if(a<b) return true; else return false; } bool RT(int a,int b)//判断当前节点是否与插入节点存在大小关系 { if(a>b) return true; else return false; } //#define EQ(a,b) ((a) == (b)) //#define LT(a,b) ((a) < (b)) //#define LQ(a,b) ((a) <= (b)) //在根指针T所指排序二叉树中递归地查找某关键字等于key的数据元素，若查找成功，则指针p只想该数据元素节点，并返回TRUE；否则指针p指向查找路径上访问的最后一个节点并返回FALSE，指针f指向T的双亲，其初始调用值为NULL bool SearchBST(BiTree t,int key,BiTree f,BiTree *p) { if(!t) { *p=f; return false; } else if(EQ(key,t->data)) { *p=t; return true; } else if(LT(key,t->data)) { SearchBST(t->lift,key,t,p); } else { SearchBST(t->right,key,t,p); } } //当排序二叉树T中不存在关键字等于key的元素时，插入e并返回TRUE，否则返回FALSE。 void InsertBST(BiTree *t,int e) { BiTree p,s; if(!SearchBST(*t,e,NULL,&p)) { s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); s->data=e; s->lift=s->right=NULL; if(!p) { *t=s;//被插节点s为新的根节点 } else if(LT(e,p->data)) { p->lift=s; } else { p->right=s; } return ; } //树中已经有关键字相同的节点，不再插入 else { return ; } } void Delete(BiTree &p) { //从排序二叉树中删除节点p，并重接它的左或右子树 BiTree q,s; if(p->right==NULL) { //p的右子树空，则只需要重接它的左字树 q=p; p=p->lift; free(q); } else if(p->lift==NULL) { //p的左子树为空，只需要重接它的右子树 q=p; p=p->right; free(q); } else { //左右子树均不为空 q=p; s=p->lift; while(s->right)//转左，然后向右到尽头（找待删除节点的前驱） { q=s; s=s->right; } p->data=s->data;//s指向被删除节点的“前驱”（将被删除节点的前驱的值取代被删除节点的值） if(q!=p) q->right=s->right;//重接q的右子树 else q->right=s->lift;//重接q的左子树 free(s); } } void DeleteBST(BiTree &t,int key) {//若排序二叉树T中存在关键字等于key的数据元素时，则删除该数据元素节点，并返回TRUE，否则返回FALSE if(!t) return; else { if(EQ(key,t->data)) { Delete(t); } else if(LT(key,t->data)) { DeleteBST(t->lift,key); } else { DeleteBST(t->right,key); } } } int search(BiTree t,int key) {//寻找某个值在树的第几层上 int i=1; while(t!=NULL) { if(EQ(t->data,key)) { return i; } else if(LT(t->data,key))//< { i++; t=t->right; } else if(RT(t->data,key))//> { i++; t=t->lift; } } return 0; } int main() { int n,i,x,j; while(cin>>n) { BiTree p=NULL; for(i=0; i<n; i++) { cin>>x; InsertBST(&p,x); } cin>>j; if(search(p,j)!=0)cout<<"Yes "<<search(p,j)<<endl; else cout<<"No"<<endl; } return 0; }