数论 最简分数 Farey序列求最简分数+POJ3374

法雷数列

定义和定理

 

定义一： 最简分数（也称既约分数或不可约分数）。若p,q的最大公约数是1，我们称分数p/q是最简分数。

定义二： 真分数，若p,q是正整数，0<p/q<1, 我们说p/q是真分数

定理：                                                                               

             分数a/b, c/d是最简真分数（也可以是0/1或者1/1）且a/b <c/d, 则有

              1)  数(a+c)/(b+d)是一个最简分数     

              2)  a/b < (a+c)/(b+d) < c/d

证明略

法雷数列的定义：

推导法雷数列方法：

应用定理中的(2),如果 a/b 和 c/d 是一个法雷数列，则在它们中间可以插入 p/q =(a+c)/(b+d),（前提是得出的q值小于或者等于给定的n值）所以可以二分构造，直到不比如 

N = 5：

step1: 准备两个数 0/1, 1/1 作为整个法雷数列的第一个元素和最后一个元素0/1, 1/1

step2: 在两个数中间插入1个数1/2, 变为0/1, 1/2, 1/1

step3: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1

step4: 在每对相邻两个数中间插入1个数，变为0/1, 1/4, 1/3, 2/5 , 1/2, 3/5, 2/3, 3/4 , 1/1

step5: 0/1 和 1/4 之间 和3/4和 1/1 仍然可插入1个数，且插入的数分母不大于5 0/1, 1/5 , 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5 , 1/1

至此，该序列包含了所有分母不大于5的最简真分数，且各个分数以递增顺序排 列。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 8000000
using namespace std;
int N,t;
int ct=2;
int tx[MAXN],ty[MAXN];
void farey (int a,int b,int c,int d)
{
    if (b+d > N) return ;
    /*if (b+d == N)
    {
        printf("%d/%d",a+c,b+d);
        if(a+c != N-1) printf(",");
        return ;
    }*/
    farey(a,b,a+c,b+d);
    //printf("%d/%d,",a+c,b+d);
    tx[ct]=a+c;
    ty[ct++]=b+d;
    farey(a+c,b+d,c,d);
}
int main ()
{
    scanf("%d%d",&N,&t);
    tx[1]=0;
    ty[1]=1;
    farey(0,1,1,1);
    tx[ct]=1;
    ty[ct]=1;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        int m;
        scanf("%d",&m);
        if(m>ct)
            printf("No Solution
");
        else
            printf("%d/%d
",tx[m],ty[m]);
    }
    return 0;
}